Онлайн калькулятор: Нахождение центра и радиуса окружности по общему уравнению окружности

Нахождение центра и радиуса окружности по общему уравнению окружности

Этот калькулятор проверяет, является ли введенное уравнение общим уравнением окружности, и вычисляет координаты центра и радиуса окружности, если это возможно. Описание способа решения подобных задач находится под калькулятором

Нахождение центра и радиуса окружности по общему уравнению окружности

Коэффициенты a, b, c, d, e уравнения

Введите коэффициенты a, b, c, d, e в указанном порядке ax² + by² + cx + dy + e = 0

Точность вычисления

Знаков после запятой: 2

Введенное уравнение

Уравнение после выделения полного квадрата

Уравнение НЕ является общим уравнением окружности

Радиус окружности

Центр окружности

Приведение общего уравнения окружности к стандартному виду

Калькулятор выше можно применять для решения задач на уравнение окружности. Чаще всего вы имеете дело с уравнением окружности, выраженном в так называемом стандартном виде
$(x-a)^2+(y-b)^2=R^2$
Из этого уравнения достаточно легко найти центр окружности - это будет точка с координатами (a,b), и радиус окружности - это будет квадратный корень из правой части уравнения.

Однако, если возвести в квадрат выражения в скобках и перенести правую часть налево, то уравнение станет выглядеть примерно так:
$x^2+y^2+cx+dy+e=0$
Это - уравнение окружности в общем виде. Здесь радиус и центр окружности уже не выделены явно, и в задачах обычно просят их найти именно по общему виду уравнения окружности.

Способ решения такого рода задач следующий:

Перегруппируем слагаемые уравнения
$(x^2+cx) + (y^2+dy)+e=0$
Для каждой скобки применим метод выделения полного квадрата (подробнее смотри тут - Метод выделения полного квадрата), то есть заменим выражение вида $ax^2+bx+c$ на выражение вида $a(x-h)^2+k$ . С учетом того, что коэффициенты при квадратах равны единице, а свободный член можно принять за ноль, формула для вычисления h и k упрощаются.

Для $x^2+cx$ :
$h_x=-\frac{c}{2}\\k_x=-\frac{c^2}{4}$

Для $y^2+dy$ :
$h_y=-\frac{d}{2}\\k_y=-\frac{d^2}{4}$

Тогда
$(x^2+cx) + (y^2+dy)+e=0 \\ \to (x-h_x)^2+k_x + (y-h_y)^2+k_y + e=0 \\ \to (x-h_x)^2 + (y-h_y)^2=-e - k_x - k_y$

Как видим, выражение в конце это уравнение окружности в стандартном виде, из которого уже легко получить и координаты центра окружности и ее радиус. Если же справа получилось отрицательное число - значит заданное вначале уравнение не является уравнением окружности (бывают задачи и на такую проверку). Калькулятор тоже проверяет это условие.

Для решения обратной задачи - нахождения общего уравнения окружности по координатам центра и радиусу - можно использовать калькулятор Уравнение окружности по заданному центру и радиусу в различных формах

PLANETCALC Онлайн калькуляторы

Нахождение центра и радиуса окружности по общему уравнению окружности

Эта страница существует благодаря следующим персонам

Timur

Нахождение центра и радиуса окружности по общему уравнению окружности

Уравнение НЕ является общим уравнением окружности

Приведение общего уравнения окружности к стандартному виду

Похожие калькуляторы

Комментарии

PLANETCALC Онлайн калькуляторы

Нахождение центра и радиуса окружности по общему уравнению окружности

Уравнение НЕ является общим уравнением окружности

Приведение общего уравнения окружности к стандартному виду

Похожие калькуляторы

Комментарии

Поделиться этой страницей