Нахождение центра и радиуса окружности по общему уравнению окружности

Этот калькулятор проверяет, является ли введенное уравнение общим уравнением окружности, и вычисляет координаты центра и радиуса окружности, если это возможно. Описание способа решения подобных задач находится под калькулятором

Эта страница существует благодаря следующим персонам

Timur

Timur

Создан: 2021-10-05 11:41:04, Последнее изменение: 2021-10-05 12:02:58
Creative Commons Attribution/Share-Alike License 3.0 (Unported)

Этот материал распространяется на условиях лицензии Creative Commons Attribution/Share-Alike License 3.0 (Unported). Это означает, что вы можете размещать этот контент на своем сайте или создавать на его основе собственный (в том числе и в коммерческих целях), при условии сохранения оригинального лицензионного соглашения. Кроме того, Вы должны отметить автора этой работы, путем размещения HTML ссылки на оригинал работы https://planetcalc.ru/9507/. Пожалуйста оставьте без изменения все ссылки на других авторов данной работы или работы, на основе которой создана данная работа (если таковые имеются в спроводительном тексте).

PLANETCALC, Нахождение центра и радиуса окружности по общему уравнению окружности

Нахождение центра и радиуса окружности по общему уравнению окружности

Введите коэффициенты a, b, c, d, e в указанном порядке ax² + by² + cx + dy + e = 0
Знаков после запятой: 2
Введенное уравнение
 
Уравнение после выделения полного квадрата
 

Уравнение НЕ является общим уравнением окружности

Радиус окружности
 
Центр окружности
 

Приведение общего уравнения окружности к стандартному виду

Калькулятор выше можно применять для решения задач на уравнение окружности. Чаще всего вы имеете дело с уравнением окружности, выраженном в так называемом стандартном виде
(x-a)^2+(y-b)^2=R^2
Из этого уравнения достаточно легко найти центр окружности - это будет точка с координатами (a,b), и радиус окружности - это будет квадратный корень из правой части уравнения.

Однако, если возвести в квадрат выражения в скобках и перенести правую часть налево, то уравнение станет выглядеть примерно так:
x^2+y^2+cx+dy+e=0
Это - уравнение окружности в общем виде. Здесь радиус и центр окружности уже не выделены явно, и в задачах обычно просят их найти именно по общему виду уравнения окружности.

Способ решения такого рода задач следующий:

  1. Перегруппируем слагаемые уравнения
    (x^2+cx) + (y^2+dy)+e=0

  2. Для каждой скобки применим метод выделения полного квадрата (подробнее смотри тут - Метод выделения полного квадрата), то есть заменим выражение вида ax^2+bx+c на выражение вида a(x-h)^2+k. С учетом того, что коэффициенты при квадратах равны единице, а свободный член можно принять за ноль, формула для вычисления h и k упрощаются.

Для x^2+cx:
h_x=-\frac{c}{2}\\k_x=-\frac{c^2}{4}

Для y^2+dy:
h_y=-\frac{d}{2}\\k_y=-\frac{d^2}{4}

Тогда
(x^2+cx) + (y^2+dy)+e=0 \\ \to (x-h_x)^2+k_x + (y-h_y)^2+k_y + e=0 \\ \to (x-h_x)^2 + (y-h_y)^2=-e - k_x - k_y

Как видим, выражение в конце это уравнение окружности в стандартном виде, из которого уже легко получить и координаты центра окружности и ее радиус. Если же справа получилось отрицательное число - значит заданное вначале уравнение не является уравнением окружности (бывают задачи и на такую проверку). Калькулятор тоже проверяет это условие.

Для решения обратной задачи - нахождения общего уравнения окружности по координатам центра и радиусу - можно использовать калькулятор Уравнение окружности по заданному центру и радиусу в различных формах

Ссылка скопирована в буфер обмена
PLANETCALC, Нахождение центра и радиуса окружности по общему уравнению окружности

Комментарии