homechevron_rightУчебаchevron_rightМатематикаchevron_rightГеометрия

Уравнение окружности, проходящей через три заданные точки

Этот онлайн калькулятор выводит уравнение окружности, проходящей через три заданные точки

Этот онлайн-калькулятор находит окружность, проходящую через три заданные точки. Калькулятор находит центр, радиус и уравнение окружности, и строит окружность на графике. Методы, использованные для нахождения центра и радиуса окружности, описаны ниже под калькулятором.

PLANETCALC, Уравнение окружности, проходящей через три заданные точки

Уравнение окружности, проходящей через три заданные точки

Первая точка

Вторая точка

Третья точка

Знаков после запятой: 2

Центр

x
 
y
 
Радиус
 
Стандартное уравнение окружности
 
Общее уравнение окружности
 
Параметрическое уравнение окружности
 

Как найти окружность, проходящюю через три заданные точки

Давайте вспомним как выглядит уравнение окружности в стандартной форме:

x^2+y^2+2ax+2by+c=0

Так как все три точки принадлежат одной окружности, мы можем записать систему уравнений

x_1^2+y_1^2+2ax_1+2by_1+c=0\\x_2^2+y_2^2+2ax_2+2by_2+c=0\\x_3^2+y_3^2+2ax_3+2by_3+c=0

Значения (x_1, y_1), (x_2, y_2) и (x_3, y_3) мы знаем. Давайте сделаем подстановку с неизвестными переменнами a, b и c.

2x_1a+2y_1b+c + x_1^2+y_1^2+=0\\2x_2a+2y_2b+c+x_2^2+y_2^2=0\\2x_3a+2y_3b+c+x_3^2+y_3^2=0

Теперь у нас есть три линейных уравнения для трех неизвестных - составим систему уравнений соответствующую матричной форме:

\begin{bmatrix}2x_1 & 2y_1 & 1 \\2x_2 & 2y_2 & 1 \\2x_3 & 2y_3 & 1 \\\end{bmatrix} * \begin{bmatrix}a\\b\\c\\\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}-(x_1^2+y_1^2)\\-(x_2^2+y_2^2)\\-(x_3^2+y_3^2)\\\end{bmatrix}

Мы можем решить эту систему уравнений, используя, к примеру, Гауссово исключение. (подробнее прочитать об этом можно здесь - Решение системы линейных алгебраических уравнений методом Гаусса ). "Нет решений" - означает, что точки коллинеарны и окружность через них провести нельзя.

Координаты центра окружность и ее радиус относится к подобному решению
x_c=-a\\y_c=-b\\R=\sqrt{x_c^2+y_c^2-c^2}

Зная центр и радиус, мы можем получить уравнение окружности, используя этот калькулятор - Уравнение окружности по заданному центру и радиусу в различных формах

Creative Commons Attribution/Share-Alike License 3.0 (Unported) PLANETCALC, Уравнение окружности, проходящей через три заданные точки

Комментарии