homechevron_rightУчебаchevron_rightМатематикаchevron_rightГеометрия

Объем части полусферы, отрезанной под углом

Объем несимметрично отрезанной части полусферы.

Калькулятор вычисляет объем части полусферы, полученной путем сечения полусферы плоскостью, проходящей на заданном расстоянии от центра полусферы под заданным углом.

1)Разрез полусферы под углом
1)Разрез полусферы под углом



Угол может быть в пределах (0..180) градусов.Расстояние h не должно превышать диаметра полусферы. Формулы вычисления можно найти сразу под калькулятором.

PLANETCALC, Объем полусферы, рассеченной плоскостью под заданным углом

Объем полусферы, рассеченной плоскостью под заданным углом

Расстояние между центром основания полусферы и режущей плоскостью вдоль основания полусферы.

Угол в градусах между основанием полусферы и плоскостью разреза.

Знаков после запятой: 5
Объем
 
Расчет можно сохранить, чтобы использовать в другой раз, extension установить на веб-сайт или share поделиться с друзьями.

Формулы объема сечения полусферы плоскостью

Начинаем с простых случаев

Разрез проходит строго по центру полусферы, h=R

2)Центральный разрез полусферы, боковая проекция.
2)Центральный разрез полусферы, боковая проекция.

Это самый простой случай, формула получается путем легкой модификации формулы объема полусферы:
V=\frac{2}{3}R^3\pi
Следующим образом:
V=\frac{2}{3}R^3\alpha, где a угол разреза в радианах.

Полусфера разрезана под углом 90 градусов

3)Прямой разрез полусферы. Боковая проекция.
3)Прямой разрез полусферы. Боковая проекция.



Если полусфера разрезана под прямым углом, мы попросту вычитаем половину объема сечения сферы из объема полусферы.

V=\frac{2}{3}R^3\pi-\frac{\pi h^2(3R-h)}{6}=\frac{\pi}{3}\left(2R^3-\frac{1}{2}h^2(3R-h)\right)

Полусфера разрезана ниже центра h > R

4)Разрез ниже середины полусферы. Боковая проекция.
4)Разрез ниже середины полусферы. Боковая проекция.



Если разрезать полусферу таким, образом, что центр полусферы окажется в части, для которой нужно вычислить объем мы получим самый сложный случай. Для такого случая мы вычисляем объем другой отрезанной части и вычитаем полученный объем из объема всей полусферы:
V=\frac{2}{3}R^3\pi-V_d
Vd вычисляется по формулам приведенным далее, с предварительным преобразованием угла \alpha=\pi-\alpha

Сечение проходит выше центра полусферы h < R

Это наиболее общий случай, мы решаем его при помощи интегрирования по объему в сферических координатах:
V=2\int_0^{\varphi_0}d{\varphi}\int_0^{\theta_{\varphi}}\sin{\theta}d{\theta} \int_{r_{\varphi,\theta}}^R{r^2}d{r} (1)
Для упрощения вычислений мы разместим разрезанную полусферу таким образом, что основание и разрезающая плоскость будут проходить перпендикулярно плоскости φ.

5)Разрез полусферы φ-плоскость
5)Разрез полусферы φ-плоскость



Мы будем интегрировать только по верхней части области интегрирования θ, так как нижняя часть будет полностью симметрична. Для учета этой части мы добавляем множитель 2 в формулу интеграла по объему (1).

6)Сечение полусферы. Плоскость θ
6)Сечение полусферы. Плоскость θ

Границы интегрирования

  1. Границы угла φ
    Согласно изображению 5) основание и режущая плоскость лежат строго перпендикулярно плоскости φ. Полагая ноль φ-координаты совпадающим с основанием полусферы мы находим верхний предел φ-координаты φ0.
    Согласно теореме синусов:
    \frac{R}{\sin(\pi-\alpha})=\frac{r_0}{\sin(\alpha-\varphi_0})
    где R - радиус полусферы, r0 - расстояние между центром полусферы и секущей плоскостью.
    Из этого следует, что верхняя граница φ вычисляется следующим образом:
    \varphi_0=\alpha - arcsin\left(\frac{r_0 \sin\alpha}{R}\right)(2), полагая \sin(\pi-\alpha)=\sin{\alpha}
  2. Интервал интегрирования по радиусу
    Верхняя граница постоянна, она определяется радиусом полусферы - R. Нижняя граница, определена секущей плоскостью:
    r_{\varphi,\theta}=\frac{r_0\sin{\pi-\alpha}}{\sin({\alpha-\varphi})\cos\theta}=\frac{r_0\sin{\alpha}}{(\sin{\alpha}\cos\varphi-\sin\varphi\cos\alpha)\cos\theta}=\frac{r_0}{(\cos\varphi-\sin\varphi{\cot\alpha})\cos\theta}(3)
  3. Интервалы угла θ
    Так как мы решили интегрировать в области θ только верхнюю часть разреза, то расположим ноль плоскости θ строго посередине рассеченной полусферы, как показано на рисунке 6). Верхняя граница имеет следующую зависимость от φ:
    \theta_{\varphi}=\arccos\left(\frac{r_0}{R(\cos\varphi-\cot\alpha\sin\varphi)}\right)(4)

Формула объема

Для получения формулы объема, мы будем решать интеграл (1) последовательно для r,θ и φ подставляя границы полученные ранее (2),(3),(4):

  1. Интегрируем по r

    V=2\int_0^{\varphi_0}d{\varphi}\int_0^{\theta_{\varphi}}\sin{\theta}d{\theta}\left.\frac{1}{3}r^3\right|_{\frac{r_0}{(\cos\varphi-\sin\varphi{\cot\alpha})\cos\theta}}^R

    Результат:
    V=2\int_0^{\varphi_0}d{\varphi}\int_0^{\theta_{\varphi}}\frac{1}{3}\sin{\theta}\left(R^3-\frac{r_0^3}{(\cos\varphi-\sin\varphi{\cot\alpha})^3\cos^3\theta} \right)d{\theta}

  2. Интегрируем по θ
    V=2\int_0^{\varphi_0}d{\varphi}\left(-\frac{1}{3}R^3\cos{\theta}-\frac{r_0^3}{6(\cos\varphi-\sin\varphi{\cot\alpha})^3\cos^2\theta} \right)\Bigg|_0^{\arccos\left(\frac{r_0}{R(\cos\varphi-\cot\alpha\sin\varphi)}\right)}
    Результат:
    V=\int_0^{\varphi_0}  \frac{r_0^3}{3(\cos\varphi-\sin\varphi{\cot\alpha})^3}-\frac{R^2r_0}{\cos\varphi-\sin\varphi{\cot\alpha}}+\frac{2}{3}R^3 d{\varphi}

  3. Интегрируем по φ
    V=\frac{2}{3}\left(\frac{r_0(r_0^2-3R^2)\arctan\left(\frac{\cot\alpha+\tan\frac{\varphi}{2}}{\sqrt{\cot^2\alpha+1)}}\right)}{\sqrt{\cot^2\alpha+1}}+R^3\varphi\right)\Bigg|_0^{\alpha - arcsin\left(\frac{r_0 \sin\alpha}{R}\right)}
    Получаем конечный результат:
    V=\frac{2}{3}\left(R^3\varphi_0+\frac{1}{K}r_0(r_0^2-3R^2)\left(\arctan(\frac{1}{K}(\cot\alpha+\tan\frac{\varphi_0}{2}))-\arctan(\frac{1}{K}\cot\alpha)\right)\right)
    где:
    K=\sqrt{\cot^2\alpha+1},
    \varphi_0=\alpha - arcsin\left(\frac{r_0 \sin\alpha}{R}\right),
    r_0=R-h,
    R - радиус полусферы
    h - расстояние между краем полусферы и секущей плоскостью
    α - угол между секущей плоскостью и основанием полусферы в радианах

Комментарии