Подъемная сила воздушного шара

Сразу скажем, что речь идет о воздушных шарах, где в качестве подъемного газа, то есть газа, создающего плавучесть, используется горячий воздух. Если в качестве подъемного газа используется гелий, то расчет немного меняется, смотри Подъемная сила воздушного шара, наполненного гелием.

Есть набор параметров воздушного шара, таких как объем шара, масса его оболочки, масса полезного груза - корзины и воздухоплавателей, и температура воздуха в шаре. Кроме того, подъемная сила зависит и от условий окружающей среды - температуры и плотности окружающего воздуха. Задачи, связанные с воздушным шаром, включены в ЕГЭ, и относятся к задачам на молекулярно-кинетическую теорию. Например, в задаче могут спрашивать до какой минимальной температуры нужно нагреть воздух в шаре, чтобы шар взлетел вместе с грузом, при известных массе оболочки, груза, объеме шара, температуре и плотности окружающего воздуха. Либо могут спрашивать, какой груз сможет поднять воздушный шар, при известном объеме, массе оболочки, температуре воздуха в шаре, температуре и плотности окружающего воздуха. Основные уравнения одни и те же, меняется только неизвестная величина. Калькулятор ниже позволяет решить подобный класс задач.

Стоит отметить, что в задачах почти всегда задается плотность окружающего воздуха. Если вы не решаете задачи на молекулярно-кинетическую теорию, а, например, хотите рассчитать параметры воздушного шара для авиамоделирования, плотность воздуха вы можете и не знать. Тогда для получения ее значения можно использовать калькулятор Плотность воздуха в зависимости от давления и температуры.

Как обычно, теория и формулы расчета приведены под калькулятором.

Подъемная сила воздушного шара

Найтимассу груза массу оболочки температуру горячего воздуха объем шара

Объем шара, м³

Масса оболочки, кг

Масса груза, кг

Температура горячего воздуха, °C

Температура окружающего воздуха, °C

Плотность окружающего воздуха, кг/м³

Для перевода из °C в °K использовать округленное значение (273)

Рассчитать

Точность вычисления

Знаков после запятой: 3

Масса груза, кг

 

Масса оболочки, кг

 

Объем шара, м³

 

Температура горячего воздуха, °C

 

 Ссылка  Сохранить  Виджет

Расчет параметров воздушного шара

Воздушный шар поднимается под действием выталкивающей силы, или силы Архимеда, потому что закон Архимеда распространяется не только на жидкости, но и на газы. Соответственно, чтобы шар начал подниматься, выталкивающая сила, действующая на шар, должна превышать силу тяжести. Для решения задач обычно находят граничное условие (минимальную температуру, минимальный объем, и т.п.), что позволяет приравнять силу тяжести и выталкивающую силу. То есть чуть больше - и шар начинает подниматься. Уравнение равновесия выглядит таким образом:
,
где
M - масса оболочки,
m - масса груза,
mₐ - масса нагретого воздуха в шаре,
mₑ - масса окружающего воздуха, вытесненного шаром,
g - ускорение свободного падения.

Массу воздуха заменим на произведение плотности воздуха на объем шара

Сократив g и перенеся массу нагретого воздуха в правую часть, получим

Разберемся с плотностью нагретого газа. При нагревании воздуха в шаре давление и объем не меняется - мы имеет всё ту же нерастяжимую оболочку, давление в которой равно атмосферному. В начальный момент температура воздуха внутри оболочки равнялась температуре окружающего воздуха. Можно использовать уравнение Менделеева-Клапейрона:

Чтобы компенсировать увеличение температуры при нагреве, должна уменьшиться масса воздуха в шаре, и следовательно, плотность. Заменив массу, получаем

После сокращения и переноса получаем следующее выражение для плотности нагретого воздуха (мы только что узнали, что плотность газа обратно пропорциональна его температуре):

Кстати сказать, температура воздуха внутри оболочки может достигать 100-120°С.

Подставив ρₐ в равенство выше, получим итоговую формулу, которая связывает все параметры воздушного шара и окружающей среды:

Из этого равенства можно получить формулы для вычисления нужного неизвестного.
Масса оболочки:

Масса груза:

Объем шара:

Температура нагретого воздуха:

Стоит заметить, что так как оболочку нельзя нагревать выше определенной температуры, чем теплее окружающий воздух, тем меньше разница плотностей, и тем хуже подъемная сила воздушного шара.