Приведенные ступенчатые матрицы

Этот онлайн калькулятор преобразует заданную матрицу к приведенному ступенчатому виду по строкам (каноническому виду по строкам) и показывает решение по шагам.

Creative Commons Attribution/Share-Alike License 3.0 (Unported)

Этот материал распространяется на условиях лицензии Creative Commons Attribution/Share-Alike License 3.0 (Unported). Это означает, что вы можете размещать этот контент на своем сайте или создавать на его основе собственный (в том числе и в коммерческих целях), при условии сохранения оригинального лицензионного соглашения. Кроме того, Вы должны отметить автора этой работы, путем размещения HTML ссылки на оригинал работы https://planetcalc.ru/8328/. Пожалуйста оставьте без изменения все ссылки на других авторов данной работы или работы, на основе которой создана данная работа (если таковые имеются в спроводительном тексте).

Этот онлайн калькулятор проводит пошаговое преобразование заданной матрицы к приведенному ступенчатому виду. Помимо решения - приведенной ступенчатой матрицы - калькулятор также показывает использованные на каждом шаге элементарные преобразования строк. Определения терминов, для тех, кто забыл, приведены, как обычно, под калькулятором.

PLANETCALC, Приведенные ступенчатые матрицы

Приведенные ступенчатые матрицы

Приведенный ступенчатый вид
 

Ступенчатая матрица

Ступенчатой матрицей, или матрицей ступенчатого вида по строкам, называется матрица, такая что

  • все ненулевые строки (имеющие по крайней мере один ненулевой элемент) располагаются над всеми чисто нулевыми строками
  • ведущий элемент (первый, считая слева направо, ненулевой элемент строки) каждой ненулевой строки располагается строго правее ведущего элемента в строке, расположенной выше данной.

Примеры ступенчатых матриц:

  • нулевая матрица
  • однострочная матрица
  • единичная матрица
  • верхнетреугольная матрица

Матрица, приведенная ниже, также является ступенчатой матрицей:

\left[ \begin{array}{ccccc} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 0 & 0 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 3 \end{array} \right]

Приведенная ступенчатая матрица

Ступенчатая матрица называется приведенной, если матрица, составленная из всех ее основных столбцов, является единичной матрицей (столбец матрицы называется основным, если он содержит ведущий элемент какой-либо строки матрицы).

То есть, приведенная ступенчатая матрица не имеет нулевых строк, и все ведущие элементы ее строк равны единице. При этом все элементы основных столбцов, помимо ведущих элементов, являются нулями.

Матрица, приведенная ниже, является приведенной ступенчатой матрицей:

\left[{\begin{array}{ccccc}1&0&5&0&6\\0&1&5&0&6\\0&0&0&1&6\end{array}}\right]

Преобразование матрицы к приведенному ступенчатому виду по строкам (каноническому виду по строкам)

Для приведения матрицы к ступенчатому или приведенному ступенчатому виду используются элементарные преобразования строк. Каждая матрица может быть преобразована к уникальному приведенному ступенчатому виду.

Элементарные преобразования строк:

  • перестановка местами любых двух строк матрицы

R_i \leftrightarrow R_j.

  • умножение любой строки матрицы на ненулевую константу

kR_i \rightarrow R_i

  • прибавление к любой строке матрицы другой строки, умноженной на некоторую ненулевую константу

R_i+kR_j \rightarrow R_i.

Эти преобразования и используются калькулятором выше для приведения матрицы к каноническому виду по строкам.

Creative Commons Attribution/Share-Alike License 3.0 (Unported) PLANETCALC, Приведенные ступенчатые матрицы

Комментарии