homechevron_rightУчебаchevron_rightМатематика

Разложение квадратной матрицы на симметричную и кососимметричную матрицы

Этот онлайн калькулятор представляет квадратную матрицу как сумму симметричной и кососимметричной матрицы

Калькулятор ниже представляет квадратную матрицу в виде суммы симметричной и кососимметричной матриц. Определения и формулы можно посмотреть под калькулятором.

PLANETCALC, Разложение квадратной матрицы на симметричную и кососимметричную матрицы

Разложение квадратной матрицы на симметричную и кососимметричную матрицы

Симметричная матрица
 
Кососимметричная матрица
 

Симметричная матрица

Симметричной называют квадратную матрицу, элементы которой симметричны относительно ее главной диагонали. То есть, \forall i,j:a_{{ij}}=a_{{ji}} и, следовательно, A=A^T.

Кососимметричная матрица

Кососимметричной называют матрицу, элементы которой относительно ее главной диагонали равны по значению и противоположны друг другу по знаку. То есть, \forall i,j:a_{{ij}}=-a_{{ji}} и, следовательно, A^T=-A.

Разложение квадратной матрицы

Любую квадратную матрицу над полем характеристики, отличной от 2, можно представить в виде суммы симметричной и кососимметричной матриц. Матрицы разложения являются уникальными, то есть определяются единственным образом. Это разложение известно также как разложение Тёплица.

Формула разложения:
A = \frac {1}{2} (A+A^T) + \frac {1}{2} (A-A^T), где
\frac {1}{2} (A+A^T) - симметричная матрица
\frac {1}{2} (A-A^T) - кососимметричная матрица

Разложение основано на том факте, что сумма A+AT является симметричной матрицей, разность A-AT - кососимметричной матрицей, а умножение на скаляр сохраняет эти свойства.

Ссылка скопирована в буфер обмена
Creative Commons Attribution/Share-Alike License 3.0 (Unported) PLANETCALC, Разложение квадратной матрицы на симметричную и кососимметричную матрицы

Комментарии