Онлайн калькулятор: Разложение квадратной матрицы на симметричную и кососимметричную матрицы

Разложение квадратной матрицы на симметричную и кососимметричную матрицы

Этот онлайн калькулятор представляет квадратную матрицу как сумму симметричной и кососимметричной матрицы

Калькулятор ниже представляет квадратную матрицу в виде суммы симметричной и кососимметричной матриц. Определения и формулы можно посмотреть под калькулятором.

Разложение квадратной матрицы на симметричную и кососимметричную матрицы

Квадратная матрица

Точность вычисления

Точно

Округленно

Симметричная матрица

Кососимметричная матрица

Симметричная матрица

Симметричной называют квадратную матрицу, элементы которой симметричны относительно ее главной диагонали. То есть, $\forall i,j:a_{{ij}}=a_{{ji}}$ и, следовательно, $A=A^T$ .

Кососимметричная матрица

Кососимметричной называют матрицу, элементы которой относительно ее главной диагонали равны по значению и противоположны друг другу по знаку. То есть, $\forall i,j:a_{{ij}}=-a_{{ji}}$ и, следовательно, $A^T=-A$ .

Разложение квадратной матрицы

Любую квадратную матрицу над полем характеристики, отличной от 2, можно представить в виде суммы симметричной и кососимметричной матриц. Матрицы разложения являются уникальными, то есть определяются единственным образом. Это разложение известно также как разложение Тёплица.

Формула разложения:
$A = \frac {1}{2} (A+A^T) + \frac {1}{2} (A-A^T)$ , где
$\frac {1}{2} (A+A^T)$ - симметричная матрица
$\frac {1}{2} (A-A^T)$ - кососимметричная матрица

Разложение основано на том факте, что сумма A+A^T является симметричной матрицей, разность A-A^T - кососимметричной матрицей, а умножение на скаляр сохраняет эти свойства.

PLANETCALC Онлайн калькуляторы

Разложение квадратной матрицы на симметричную и кососимметричную матрицы