Коллинеарность точек, заданных координатами

Этот онлайн калькулятор проверяет, являются ли точки, заданные координатами, коллинеарными (т.е. лежащими на одной прямой)

В поле ниже вы можете ввести любое количество точек, причем точки могут задаваться любым числом координат (2 координаты для точек на плоскости, 3 координаты для точек в пространстве и так далее).

Точки вводятся по одной на строке, координаты вводятся через запятую. Пример ниже проверяет коллинеарность трех точек на плоскости, заданных координатами (1,2), (2,4), и (3,6). Формулы, использующиеся для проверки на коллинеарность, приведены под калькулятором.

PLANETCALC, Коллинеарность точек, заданных координатами

Коллинеарность точек, заданных координатами

Результат
 

Условие коллинеарности

В координатной геометрии в n-мерном пространстве набор из трех или более различных точек коллинеарен тогда и только тогда, когда матрица координат этих векторов имеет ранг 1 или меньше. Например, для трех точек X = (x1,x2,...,xn), Y = (y1,y2,...,yn) и Z = (z1,z2,...,zn), если матрица
\begin{bmatrix}x_{1}&x_{2}&\dots &x_{n}\\y_{1}&y_{2}&\dots &y_{n}\\z_{1}&z_{2}&\dots &z_{n}\end{bmatrix}
имеет ранг 1 или меньше, точки лежат на одной прямой.

Так как на этом сайте уже есть калькулятор Определение ранга матрицы, он используется для определения ранга введенной матрицы координат, и если результат равен 1, то точки лежат на одной прямой.

Для простейшего случая трех точек в двумерном пространстве: (x_1,y_1), (x_2, y_2), (x_3, y_3) с матрицей
\begin{bmatrix}x_{1}&y_{1}\\x_{2}&y_{2}\\x_{3}&y_{3}\end{bmatrix}
вы можете применить эту технику, проверив всего три минора на ноль (проверку можно остановить, если вы получите ненулевой минор)
x_1y_2-y_1x_2=0 \\ x_2y_3-y_2x_3=0 \\ x_1y_3-y_1x_3=0

Также можно использовать эквивалентное определение коллинеарности:

Для каждого подмножества трех точек X = (x1,x2,...,xn), Y = (y1,y2,...,yn) и Z = (z1,z2,...,zn), если матрица
\begin{bmatrix}1&x_{1}&x_{2}&\dots &x_{n}\\1&y_{1}&y_{2}&\dots &y_{n}\\1&z_{1}&z_{2} &\dots &z_{n}\end{bmatrix}
имеет ранг 2 или меньше, точки коллинеарны.

В случае трех точек на плоскости с матрицей
\begin{bmatrix}1&x_{1}&y_{1}\\1&x_{2}&y_{2}\\1&x_{3}&y_{3}\end{bmatrix}
они коллинеарны тогда и только тогда, когда определитель матрицы равен нулю.

Ссылка скопирована в буфер обмена
PLANETCALC, Коллинеарность точек, заданных координатами

Комментарии