Онлайн калькулятор: Решение уравнения 4-й степени

Решение уравнения 4-й степени

Калькулятор вычисляет корни уравнения 4-й степени используя резольвенту (уравнение 3-й степени).

Эта страница существует благодаря следующим персонам

A	Anton Статья : Решение уравнения 4-й степени - Автор Калькулятор : Уравнение 4-й степени - Автор

Создан: 2018-02-13 07:40:06, Последнее изменение: 2020-11-03 14:19:35

Калькулятор ниже решает уравнение 4-й степени степени с одной неизвестной. В общем виде уравнение выглядит следующим образом: $ax^4+bx^3+cx^2+dx+e=0$ . В результате получается четыре комплексных или вещественных корня. Формулы, использующиеся для решения описаны сразу под калькулятором.

Уравнение 4-й степени

коэффициент а

коэффициент b

коэффициент c

коэффициент d

коэффициент e

Точность вычисления

Знаков после запятой: 2

Первым шагом разделим все коэффициенты уравнения на a и получим эквивалентное уравнение следующего вида:
$x^4+a_3x^3+a_2x^2+a_1x+a_0=0$
Далее решаем кубическое уравнение вида:
$u^3-a_2u^2+(a_1a_3-4a_0)u-(a_1^2+a_0a_3^2-4a_0a_2)=0$
Это уравнение можно решить, например, способом описанным тут: Кубическое уравнение.
Один вещественный корень этого уравнения u₁ мы будем использовать далее для вычисления корней квадратных уравнений. Если вещественных корней уравнения несколько, то нужно выбрать среди них один u₁ таким образом, чтобы p и q в следующих выражениях были тоже вещественными:
$p_{1,2}=\frac{a_3}{2}\pm\sqrt{\frac{a_3^2}{4}+u_1-a_2}$
$q_{1,2}=\frac{u_1}{2}\pm\sqrt{\frac{u_1^2}{4}-a_0}$
Вычислив p₁, p₂,q₁,q₂, подставляем их в квадратные уравнения в правой части следующего выражения:
$x^4+a_3x^3+a_2x^2+a_1x+a_0=(x^2+p_1x+q_1)(x^2+p_2x+q_2)$ ¹

Четыре корня двух квадратных уравнений в правой части будут соответствовать корням исходного уравнения. Знаки в выражениях для p_i и q_i выбираются таким образом, чтобы выполнялись условия:

#	условие
1	$p_1+p_2=a_3$
2	$p_1p_2+q_1+q_2=a_2$
3	$p_1q_2+p_2q_1=a_1$
4	$q_1q_2=a_0$

Фактически можно проверить только третье условие и если оно не выполняется — поменять q₁ и q₂ местами.
Решение можно проверить, получив значение полинома при помощи этого калькулятора: Вычисление значения полинома с комплексными числами.

M. Abramovitz и I. Stegun Handbook of Mathematical Functions With Formulas, Graphs and Mathematical Tables, 10th printing, Dec 1972, стр.17-18 ↩

PLANETCALC Онлайн калькуляторы

Решение уравнения 4-й степени

Эта страница существует благодаря следующим персонам

Anton

Уравнение 4-й степени

Похожие калькуляторы

Комментарии

PLANETCALC Онлайн калькуляторы

Уравнение 4-й степени

Похожие калькуляторы

Комментарии

Поделиться этой страницей