homechevron_rightУчебаchevron_rightМатематикаchevron_rightАлгебра

Решение уравнения 4-й степени

Калькулятор вычисляет корни уравнения 4-й степени используя резольвенту (уравнение 3-й степени).

Калькулятор ниже решает уравнение 4-й степени степени с одной неизвестной. В общем виде уравнение выглядит следующим образом:  ax^4+bx^3+cx^2+dx+e=0. В результате получается четыре комплексных или вещественных корня. Формулы, использующиеся для решения описаны сразу под калькулятором.

PLANETCALC, Уравнение 4-й степени

Уравнение 4-й степени

Знаков после запятой: 2
x1
 
x2
 
x3
 
x4
 
Расчет можно сохранить, чтобы использовать в другой раз, extension установить на веб-сайт или share поделиться с друзьями.

Первым шагом разделим все коэффициенты уравнения на a и получим эквивалентное уравнение следующего вида:
x^4+a_3x^3+a_2x^2+a_1x+a_0=0
Далее решаем кубическое уравнение вида:
u^3-a_2u^2+(a_1a_3-4a_0)u-(a_1^2+a_0a_3^2-4a_0a_2)=0
Это уравнение можно решить, например, способом описанным тут: Кубическое уравнение.
Один вещественный корень этого уравнения u1 мы будем использовать далее для вычисления корней квадратных уравнений. Если вещественных корней уравнения несколько, то нужно выбрать среди них один u1 таким образом, чтобы p и q в следующих выражениях были тоже вещественными:
p_{1,2}=\frac{a_3}{2}\pm\sqrt{\frac{a_3^2}{4}+u_1-a_2} 
q_{1,2}=\frac{u_1}{2}\pm\sqrt{\frac{u_1^2}{4}-a_0}
Вычислив p1, p2,q1,q2, подставляем их в квадратные уравнения в правой части следующего выражения:
x^4+a_3x^3+a_2x^2+a_1x+a_0=(x^2+p_1x+q_1)(x^2+p_2x+q_2)1

Четыре корня двух квадратных уравнений в правой части будут соответствовать корням исходного уравнения. Знаки в выражениях для pi и qi выбираются таким образом, чтобы выполнялись условия:

# условие
1 p_1+p_2=a_3
2 p_1p_2+q_1+q_2=a_2
3 p_1q_2+p_2q_1=a_3
4 q_1q_2=a_0

Фактически можно проверить только третье условие и если оно не выполняется — поменять q1 и q2 местами.
Решение можно проверить, получив значение полинома при помощи этого калькулятора: Вычисление значения полинома с комплексными числами.


  1. M. Abramovitz и I. Stegun Handbook of Mathematical Functions With Formulas, Graphs and Mathematical Tables, 10th printing, Dec 1972, стр.17-18 

Комментарии