homechevron_rightУчебаchevron_rightМатематикаchevron_rightГеометрия

Кубическое уравнение

Решение кубического уравнения по формуле Виета. Создан по запросу пользователя.

Сегодня выполняем запрос пользователя Решение кубического уравнения.
Канонический вид кубического уравнения:
ax^3+bx^2+cx+d=0

Решать кубическое уравнение мы будем по формуле Виета.
Формула Виета — способ решения кубического уравнения вида
x^3+a'x^2+b'x+c'=0
Соответственно, чтобы привести к этому виду оригинальное уравнение первым шагом все введенные коэффициенты делятся на коэффициент а:
x^3+\frac{b}{a}x^2+\frac{c}{a}x+\frac{d}{a}=0

Калькулятор ниже, а описание формулы Виета — под ним

PLANETCALC, Кубическое уравнение

Кубическое уравнение

Знаков после запятой: 2
x1
 
x2
 
x3
 
Q
 
R
 
S
 

Кстати сказать, на других сайтах почему-то для решения кубических уравнений используют формулу Кардано, однако я согласен с Википедией в том, что формула Виета более удобна для практического применения. Так что почему везде формула Кардано — непонятно, разве что лень людям Гиперболические функции и Обратные гиперболические функции реализовывать. Ну мне не лень было.

Итак, формула Виета (из Википедии)

Обратите внимание, что по представлению формулы Виета а — второй коэффициент, а коэффициент перед x3 всегда считается равным 1. Калькулятор позволяет ввести а как коэффициент перед х3, но сразу же на него и делит уравнение, чтобы получить 1

Вычисляем:
Q=\frac{a^2-3b}{9}R=\frac{2a^3-9ab+27c}{54}

Вычисляем:
S=Q^3-R^2

Если S > 0, то вычисляем:
\phi = \frac{1}{3}\arccos\left(\frac{R}{\sqrt{Q^3}}\right)
и имеем три действительных корня:

x_1=-2\sqrt{Q}\cos(\phi)-\frac{a}{3}x_2=-2\sqrt{Q}\cos\left(\phi+\frac{2}{3}\pi\right)-\frac{a}{3}x_3=-2\sqrt{Q}\cos\left(\phi-\frac{2}{3}\pi\right)-\frac{a}{3}

Если S < 0, то заменяем тригонометрические функции гиперболическими. Здесь возможны два случая в зависимости от знака Q

Q > 0:

\phi = \frac{1}{3}\,\operatorname{Arch}\left(\frac{|R|}{\sqrt{Q^3}}\right)x_1=-2sgn(R)\sqrt{Q}\,\operatorname{ch}(\phi)-\frac{a}{3}
(действительный корень)

x_{2,3}=sgn(R)\sqrt{Q}\,\operatorname{ch}(\phi)-\frac{a}{3} \pm i \sqrt{3}\sqrt{Q}\,\operatorname{sh}(\phi)
(пара комплексных корней)

Q < 0:

\phi = \frac{1}{3}\,\operatorname{Arsh}\left(\frac{|R|}{\sqrt{|Q|^3}}\right)x_1=-2sgn(R)\sqrt{|Q|}\, \operatorname{sh}(\phi)-\frac{a}{3}
(действительный корень)

x_{2,3}=sgn(R)\sqrt{|Q|}\, \operatorname{sh}(\phi)-\frac{a}{3} \pm i \sqrt{3} \sqrt{|Q|}\,\operatorname{ch}(\phi)
(пара комплексных корней)

Если S = 0, то уравнение вырождено и имеет меньше 3 различных решений (второй корень кратности 2):

x_1=-2sgn(R)\sqrt{Q}-\frac{a}{3}=-2\sqrt[3]{R}-\frac{a}{3}x_2=sgn(R)\sqrt{Q}-\frac{a}{3}=\sqrt[3]{R}-\frac{a}{3}

По этим формулам калькулятор и работает. Решает вроде правильно, хотя решения с мнимой частью не проверял. Если что, пишите.

Комментарии