homechevron_rightУчебаchevron_rightМатематикаchevron_rightГеометрия

Кубическое уравнение

Решение кубического уравнения по формуле Виета. Создан по запросу пользователя.

Эта страница существует благодаря следующим персонам

Timur
Timur

Сегодня выполняем запрос пользователя Решение кубического уравнения.
Канонический вид кубического уравнения:
ax^3+bx^2+cx+d=0

Решать кубическое уравнение мы будем по формуле Виета.
Формула Виета — способ решения кубического уравнения вида
x^3+a'x^2+b'x+c'=0
Соответственно, чтобы привести к этому виду оригинальное уравнение первым шагом все введенные коэффициенты делятся на коэффициент а:
x^3+\frac{b}{a}x^2+\frac{c}{a}x+\frac{d}{a}=0

Калькулятор ниже, а описание формулы Виета — под ним

PLANETCALC, Кубическое уравнение

Кубическое уравнение

Знаков после запятой: 2
x1
 
x2
 
x3
 
Q
 
R
 
S
 

Кстати сказать, на других сайтах почему-то для решения кубических уравнений используют формулу Кардано, однако я согласен с Википедией в том, что формула Виета более удобна для практического применения. Так что почему везде формула Кардано — непонятно, разве что лень людям Гиперболические функции и Обратные гиперболические функции реализовывать. Ну мне не лень было.

Итак, формула Виета (из Википедии)

Обратите внимание, что по представлению формулы Виета а — второй коэффициент, а коэффициент перед x3 всегда считается равным 1. Калькулятор позволяет ввести а как коэффициент перед х3, но сразу же на него и делит уравнение, чтобы получить 1

Вычисляем:
Q=\frac{a^2-3b}{9}R=\frac{2a^3-9ab+27c}{54}

Вычисляем:
S=Q^3-R^2

Если S > 0, то вычисляем:
\phi = \frac{1}{3}\arccos\left(\frac{R}{\sqrt{Q^3}}\right)
и имеем три действительных корня:

x_1=-2\sqrt{Q}\cos(\phi)-\frac{a}{3}x_2=-2\sqrt{Q}\cos\left(\phi+\frac{2}{3}\pi\right)-\frac{a}{3}x_3=-2\sqrt{Q}\cos\left(\phi-\frac{2}{3}\pi\right)-\frac{a}{3}

Если S < 0, то заменяем тригонометрические функции гиперболическими. Здесь возможны два случая в зависимости от знака Q

Q > 0:

\phi = \frac{1}{3}\,\operatorname{Arch}\left(\frac{|R|}{\sqrt{Q^3}}\right)x_1=-2sgn(R)\sqrt{Q}\,\operatorname{ch}(\phi)-\frac{a}{3}
(действительный корень)

x_{2,3}=sgn(R)\sqrt{Q}\,\operatorname{ch}(\phi)-\frac{a}{3} \pm i \sqrt{3}\sqrt{Q}\,\operatorname{sh}(\phi)
(пара комплексных корней)

Q < 0:

\phi = \frac{1}{3}\,\operatorname{Arsh}\left(\frac{|R|}{\sqrt{|Q|^3}}\right)x_1=-2sgn(R)\sqrt{|Q|}\, \operatorname{sh}(\phi)-\frac{a}{3}
(действительный корень)

x_{2,3}=sgn(R)\sqrt{|Q|}\, \operatorname{sh}(\phi)-\frac{a}{3} \pm i \sqrt{3} \sqrt{|Q|}\,\operatorname{ch}(\phi)
(пара комплексных корней)

Если S = 0, то уравнение вырождено и имеет меньше 3 различных решений (второй корень кратности 2):

x_1=-2sgn(R)\sqrt{Q}-\frac{a}{3}=-2\sqrt[3]{R}-\frac{a}{3}x_2=sgn(R)\sqrt{Q}-\frac{a}{3}=\sqrt[3]{R}-\frac{a}{3}

По этим формулам калькулятор и работает. Решает вроде правильно, хотя решения с мнимой частью не проверял. Если что, пишите.

Комментарии