homechevron_rightУчебаchevron_rightМатематика

Обратная матрица

Нахождение обратной матрицы с помощью союзной матрицы.

Creative Commons Attribution/Share-Alike License 3.0 (Unported)

Этот материал распространяется на условиях лицензии Creative Commons Attribution/Share-Alike License 3.0 (Unported). Это означает, что вы можете размещать этот контент на своем сайте или создавать на его основе собственный (в том числе и в коммерческих целях), при условии сохранения оригинального лицензионного соглашения. Кроме того, Вы должны отметить автора этой работы, путем размещения HTML ссылки на оригинал работы https://planetcalc.ru/1239/. Пожалуйста оставьте без изменения все ссылки на других авторов данной работы или работы, на основе которой создана данная работа (если таковые имеются в спроводительном тексте).

Продолжаем серию калькуляторов про матрицы, предыдущие калькуляторы: Определитель (детерминант) матрицы, Транспонирование матрицы, Умножение матриц.

Калькулятор ниже находит обратную матрицу с помощью метода Гаусса-Жордана. Раньше он вычислял обратную матрицу через союзную матрицу, но данный способ подходит только для матриц небольшого размера. Немного теории, как водится, под калькулятором.

PLANETCALC, Обратная матрица

Обратная матрица

Знаков после запятой: 2
Обратная матрица
 

Обратная матрица

Несколько определений:

Итак, обратная матрица — такая матрица, при умножении на которую исходная матрица A даёт в результате единичную матрицу E:
AA^{-1} = A^{-1}A = E

Нахождение обратной матрицы через союзную матрицу выглядит следующим образом:
A^{-1} = \frac{1}{\det A}\cdot C^*

Союзная матрица - матрица, составленная из алгебраических дополнений для соответствующих элементов транспонированной матрицы.
{C}^{*}= \begin{pmatrix}  {A}_{11} & {A}_{21} & \cdots & {A}_{n1} \\ {A}_{12} & {A}_{22} & \cdots & {A}_{n2} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ {A}_{1n} & {A}_{2n} & \cdots & {A}_{nn} \\ \end{pmatrix}

Ну и чтобы два раза не ходить —
Алгебраическое дополнение элемента a_{ij} матрицы A это число A_{ij}
A_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}
где M_{ij} — определитель матрицы, получающейся из исходной матрицы A путем вычёркивания i -й строки и j -го столбца (дополнительный минор).

Соответственно, данных способ достаточно хорошо подходит для расчета обратных матриц вручную, при условии что размер матрицы 2х2, 3x3, или, максимум, 4x4. Дальше сложность этого метода сильно возрастает, и проще становится применять метод Гаусса-Жордана, но об этом как-нибудь в другой раз.

Creative Commons Attribution/Share-Alike License 3.0 (Unported) PLANETCALC, Обратная матрица

Комментарии