Стандартный вид многочлена

Калькулятор далее представляет входной многочлен нескольких переменных в стандартном виде (раскрывает скобки, возводит в степень и приводит подобные члены). Переменные многочлена можно задать строчными английскими буквами или в виде мультииндекса (массива степеней переменных). Например, записи 3a^2bd +c и 3[2 1 0 1] + [0 0 1] эквивалентны. Вывод результата возможен в виде буквенной и индексной записях, либо в также в виде мультииндекса. Также выводится степень многочлена и вектор степеней одночленов. Коэффициенты результирующего многочлена рассчитываются в поле рациональных или вещественных чисел.

Стандартный вид многочлена

2(7ab+3a^2b+cd^4)(2ef-4a^2)-7b^2ef

Многочлен нескольких переменных

Порядок одночленовЛексикографический Градуированный лексикографический Градуированный обратный лексикографический

ПеременныеСимволические Индексные Массив степеней

Нормировать

Рассчитать

Точность вычисления

Точно

Округленно

Знаков после запятой: 2

Результат

 

Степень полинома

 

Степени одночленов

 

 Ссылка  Сохранить  Виджет

Одночлен

Одночлен представляет собой произведение переменных x_i в степени a_i, где a_i - целое неотрицательное число:

Если переменных не так много, то вместо индексной записи можно записывать все переменные при помощи отдельных латинских букв:
например, x₁²x₂ или x²y - эквивалентные записи одночлена двух переменных.
Вектор, составленный из показателей степеней одночлена называется мультииндекс:

Пример: мультииндекс одночлена x²y³z = (2,3,1)
Степенью одночлена называется сумма всех показателей степеней переменных этого одночлена:

Например, степень одночлена: x²y³z равна 2+3+1 = 6

Многочлен

Многочлен в стандартном виде это конечная сумма одночленов помноженных на коэффициенты:

Степенью многочлена deg(f) называется максимальная степень |a| всех одночленов многочлена, с ненулевыми коэффициентами.
В отличие от многочленов одной переменной, многочлены многих переменных могут иметь несколько одночленов с одинаковой степенью.
В связи с этим возникает вопрос определения порядка на множестве членов многочлена.

Порядок членов многочлена¹

Известно несколько способов задания порядка членов многочлена.

Лексикографический порядок

Наиболее простой порядок - лексикографический. В этом случае самая левая ненулевая координата вектора, полученного вычитанием мультииндексов сравниваемых одночленов положительна:

Пример лексикографического сравнения:

Первый одночлен x^α больше второго x^β, так как при вычитании мультииндексов первая ненулевая координата (0,1,-2) положительна.

Градуированный лексикографический порядок

Градуированный лексикографический порядок определяется в первую очередь степенью одночлена, если степень больше, то и одночлен считается больше. В случае равных степеней используется лексикографическое сравнение:

Примеры градуированного лексикографического сравнения:
а)

Одночлен x^β больше чем x^α, так как степень |β|=7 больше степени |α|=6.
б)

Одночлен x^α больше чем x^γ, так как степени равны, но лексикографически первый одночлен больше второго.

Градуированный обратный лексикографический порядок

Градуированный обратный лексикографический порядок сходен с предыдущим в том, что в первую очередь он определяется степенью одночлена, если степень больше, то и одночлен считается больше. В случае равных степеней, одночлен больше, если самая правая ненулевая координата вектора, полученного вычитанием мультииндексов сравниваемых одночленов отрицательна.
Примеры градуированного обратного лексикографического сравнения:
а)

Одночлен x^β больше чем x^α, так как степень |β|=7 больше степени |α|=6.
б)

Одночлен x^γ больше чем x^α, так как степени равны, но при вычитании мультииндексов самая правая ненулевая координата вектора разницы мультииндексов (-1,2,-1) отрицательна.