homechevron_rightУчебаchevron_rightМатематика

Интерполяционный многочлен Ньютона (полином Ньютона)

Этот онлайн калькулятор строит интерполяционный многочлен Ньютона для заданного набора точек. Калькулятор показывает пошаговое решение, интерполирует заданные точки, а также строит график.

Калькулятор ниже строит интерполяционный многочлен Ньютона (полином Ньютона) в общем виде (то есть ему не требуется, чтобы точки из набора значений находились друг от друга на равном расстоянии), после чего упрощает его, раскрывая скобки, и получает результат, пригодный для расчетов. Помимо этого калькулятор интерполирует значения неизвестной функции в указанных точках и строит график полинома, отмечая точки интерполяции и точки из заданного набора данных.

Как пользоваться

Сначала вводите набор точек - одна точка на строку в форме x f(x), значения разделены пробелом. Если вы хотите получить интерполяцию, вводите значения точек, в которых надо найти значения интерполяционного многочлена в следующее поле в виде значений x, разделенных пробелом.

Теория и формулы, как обычно, описаны под калькулятором.

PLANETCALC, Интерполяционный многочлен Ньютона (полином Ньютона)

Интерполяционный многочлен Ньютона (полином Ньютона)

Полином Ньютона
 
Полином Ньютона после упрощений
 
Файл очень большой, при загрузке и создании может наблюдаться торможение браузера.
Полином Ньютона
Файл очень большой, при загрузке и создании может наблюдаться торможение браузера.

Интерполяционный многочлен Ньютона (полином Ньютона)

В общем виде интерполяционный многочлен Ньютона записывается в следующем виде:

P_n(x)=f(x_0)+\sum_{k=1}^n \left( f(x_0, \dots , x_k) \cdot \prod_{i=0}^{k-1}{(x-x_i)} \right),

где n - степень полинома,
f(x_0, \dots , x_k) - разделенная разность k-го порядка, вычисляемая как
f(x_i, x_{i+1}, \dots , x_{i+k})=\frac{f(x_{i+1}, x_{i+2} \dots , x_{i+k}) - f(x_i, x_{i+1}, \dots , x_{i+k-1})}{x_{i+k}-x_i}.

Разделенную разность k-го порядка также можно выразить через значения функции в точках с помощью такой формулы:
f(x_0, x_1, \dots , x_k)=\sum_{i=0}^k \left( \frac{f(x_i)}{ \prod_{j=0, j \neq i}^k (x_i-x_j) } \right).
Последняя формула и используется в калькуляторе.

Полином Ньютона - это форма записи полинома n-ной степени, который проходит через все заданные точки из набора значений. Такая форма является более удобной формой представления интерполяционного полинома для ручных расчетов, так как при добавлении дополнительного узла все вычисленные ранее слагаемые остаются без изменения, а к выражению добавляется только одно новое слагаемое.

При этом сам интерполяционный полином для заданного набора данных является единственным, и по сути, полином Ньютона только по форме отличается от полинома Лагранжа, после упрощения превращаясь в один и тот же полином.

Ссылка скопирована в буфер обмена
Creative Commons Attribution/Share-Alike License 3.0 (Unported) PLANETCALC, Интерполяционный многочлен Ньютона (полином Ньютона)

Комментарии