homechevron_rightУчебаchevron_rightМатематикаchevron_rightГеометрия

Объем жидкости в прямоугольном баке под наклоном

Вычисляет объем жидкости в частично заполненном баке прямоугольной формы с поворотом и наклоном бака.

Этот калькулятор можно использовать для расчета объема жидкости в прямоугольном баке. Бак может быть наклонен в двух плоскостях (по ширине и длине)
Угол наклона можно задать тремя способами:

  • в градусах
  • по расстоянию подъема угла бака
  • по уровню жидкости в трех разных точках ( точки не должны лежать на одной прямой ).

Внимание расстояние подъема и глубина жидкости должны измеряться перпендикулярно основанию бака, не зависимо от угла его наклона.
Описание методики расчета можно найти сразу за калькулятором.

PLANETCALC, Объем жидкости в наклоненном прямоугольном баке

Объем жидкости в наклоненном прямоугольном баке

Размеры бака

Наклон

Угол в градусах
Угол в градусах

Уровень жидкости у самого глубокого угла

Уровень жидкости около угла

Уровнь жидкости у соседнего по длине угла

Уровнь жидкости у соседнего по ширине угла

Знаков после запятой: 2
Объем жидкости
 
Процент заполнения
 

Модель наклонного прямоугольного бака

Наклоненный прямоугольный бак
Наклоненный прямоугольный бак

Размеры бака

L - длина
W - ширина
H - глубина

Угол наклона и уровень жидкости

a - расстояние подъема угла, соседнего с самым низким по длине
b - расстояние подъема угла, соседнего с самым низким по ширине
h - уровень жидкости в самом низком углу

Формулы вычисления объема жидкости в наклонном баке

Полагая начало координат совпадающим с нижним углом, ось x откладывается по длине бака L, ось y совпадает с шириной W b ось z - с высотой H выведем уравнение плоскости поверхности жидкости :

a W x + b L y + L W z - h L W = 0

Тогда объем жидкости в баке, наклоненном и заполненном так, как на рисунке выше будет равен:

V=\int \limits _{0}^{L}\int \limits _{0}^{W} h- \frac{a x}{L} - \frac{b y}{W} dx dy=L W \left ( h-\frac{a+b}{2}\right )
Эта формула справедлива для бака без наклона ( a = b = 0 ) и для наклоненного бака в одной плоскости ( a = 0 или b=0).

Но если начать доливать жидкость и сильнее наклонять бак, то задача становится несколько сложнее.

Различные варианты наполнения и наклона бака
Различные варианты наполнения и наклона бака

Для бака наклоненного в одной плоскости (b=0) объем будет равен площади заполненного водой сечения умноженное на ширину бака:
V=L W k,
где
k =  \left\{ \begin{array}{l l l} h-\frac{a}{2} & \quad h > a , h \leq H \\ H-\frac{(h-H)(H-h+a)}{2a} & \quad  h > a, h >H\\ \frac{h^2}{2a}  & \quad h \leq a, h \leq H \\ \frac{h}{a}-\frac{H^2}{2a}-\frac{H}{a}  & \quad h \leq a, h > H \end{array} \right\}

В случае наклона в двух плоскостях (a>0, b>0) вместо выведения формулы для всех возможных комбинаций наклона и уровня жидкости, отметим, что форма жидкости при любом заполнении и наклоне (отличном от нулевого) соответствует усеченной пирамиде.

Прямоугольный бак с водой. Различные варианты наклона и заполнения. Вид сверху.
Прямоугольный бак с водой. Различные варианты наклона и заполнения. Вид сверху.



Универсальная формула для вычисления объема выглядит так:

 V = V_1-V_2-V_3+V_4

где:
Vi объемы пирамид (иногда усеченных верхней стенкой), образованных тремя перпендикулярными друг другу сторонами бака и плоскостью поверхности жидкости.
V1 - объем пирамиды вершина которой находится в самом глубоком углу x,y =(0,0)
V2 - объем пирамиды с вершиной в углу соседнем с глубочайшим углом по длине x,y =(L,0)
V3 - объем пирамиды с вершиной в углу соседнем с глубочайшим углом по ширине x,y =(0,W)
V4 - объем пирамиды с вершиной в углу соседнем по диагонали с самым глубоким x,y = (L,W)

Чтобы посчитать каждый из этих объемов Vi нам нужно узнать

  • уровень плоскости, совпадающей с поверхностью воды у вершины пирамиды:
    h_i(x,y) = h - \frac{a}{L} x + \frac{b} {W} y
  • сторону нижнего основания по длине (z=0)
    Lb_i(y) = \frac{h L}{a} - \frac{b L} {a W} y
  • сторону верхнего основания по длине z=H
    Lt_i(y) = \frac{h L}{a} - \frac{b L} {a W} y - \frac{L H}{a}
  • сторону нижнего основания по ширине (z=0)
    Wb_i(x) = \frac{h W}{b} - \frac{a W} {b L} x
  • сторону верхнего основания по ширине z=H
    Wt_i(x) = \frac{h W}{b} - \frac{a W} {b L} x - \frac{W H}{b}

Затем можно получить объем по формуле объема пирамиды или усеченной пирамиды:
V_i =  \left\{ \begin{array}{l l l} 0 & \quad h_i \leq 0 \\ \frac{1}{6} L_{bi} W_{bi} h_i & \quad  0 < h_i \leq H \\ \frac{H}{3} ( S_{ti} + S_{bi} + \sqrt{S_{ti} S_{bi}}) & \quad h_i > H \end{array} \right\}
где
S_{ti} = \frac{L_{ti} W_{ti}}{2}
S_{bi} = \frac{L_{bi} W_{bi}}{2}

Ссылка скопирована в буфер обмена
Creative Commons Attribution/Share-Alike License 3.0 (Unported) PLANETCALC, Объем жидкости в прямоугольном баке под наклоном

Комментарии