Метод Эйлера

Этот онлайн калькулятор можно использовать для решения дифференциальных уравнений первой степени с заданным начальным значением методом Эйлера.
Для использования метода дифференциальное уравнение должно быть записано в форме:
Правую часть выражения f(x,y) надо записать в поле y' .

Кроме этого потребуется начальное значение:

и точка x для которого требуется аппроксимировать значение y.

Последний параметр метода – размер шага – это приращение вдоль касательной для вычисления следующего приближения кривой функции.

Если Вам известно точное решение дифференциального уравнения в виде y=f(x), вы можете также задать его. В этом случае калькулятор построит график этого решения вместе с приближением, а также вычислит абсолютную ошибку для каждого шага приближения.

Описание метода можно найти сразу за калькулятором.

Метод Эйлера

y'

Начальное значение x

Начальное значение y

Точка вычисления приближенного значения

Размер шага

Точное решение (не обязятельно)

Точность вычисления

Знаков после запятой: 2

Рассчитать

Дифференциальное уравнение

 

Приближенное значение y

 

Приближение

Файл очень большой, при загрузке и создании может наблюдаться торможение браузера.

Загрузить 

 Ссылка  Сохранить  Виджет

Метод Эйлера

Предположим мы имеем следующее:

Если мы вычислим:

мы найдем производную y' в начальной точке.

Для достаточно малой , мы можем предположить значение y как

Или кратко

И в общем случае

Мы продолжаем вычислять следующие значения y используя это выражения до тех пор пока мы не достигнем точки x .

В этом заключается сущность метода Эйлера. - размер шага (приращение). Погрешность на каждом шаге (локальная погрешность) приблизительно пропорциональна квадрату приращения, таким образом, чем меньше приращение, тем точнее будет работать метод Эйлера. Однако общая погрешность (погрешность в конечной точке) накапливается за счет локальных погрешностей с каждым шагом. Общая погрешность пропорциональна приращению, поэтому метод Эйлера называют методом первого порядка точности.

Более сложные методы имеют более высокий порядок точности. Одна из возможностей - использовать большее число вычислений функции. Это проиллюстрировано тут: Midpoint method