Метод Эйлера

Этот онлайн калькулятор можно использовать для решения дифференциальных уравнений первой степени с заданным начальным значением методом Эйлера.
Для использования метода дифференциальное уравнение должно быть записано в форме:
Правую часть выражения f(x,y) надо записать в поле y' .

Кроме этого потребуется начальное значение:

и точка x для которого требуется аппроксимировать значение y.

Последний параметр метода – размер шага – это приращение вдоль касательной для вычисления следующего приближения кривой функции.

Если Вам известно точное решение дифференциального уравнения в виде y=f(x), вы можете также задать его. В этом случае калькулятор построит график этого решения вместе с приближением, а также вычислит абсолютную ошибку для каждого шага приближения.

Описание метода можно найти сразу за калькулятором.

Метод Эйлера

y'

Начальное значение x

Начальное значение y

Точка вычисления приближенного значения

Размер шага

Точное решение (не обязятельно)

Точность вычисления

Знаков после запятой: 2

Рассчитать

Дифференциальное уравнение

$\displaystyle{y \prime = y}$

Приближенное значение y

2.59

Приближение

Файл очень большой, при загрузке и создании может наблюдаться торможение браузера.

Загрузить 

Приближение

Точное решение

x(n)
Приближение
Точное решение



Приближение

n	x(n)	Приближение	f(x,y)	dy	y(n+1)	Точное решение	Абсолютная ошибка
0	0	1	1	0.1	1.1	1	0
1	0.1	1.1	1.1	0.11	1.21	1.11	0.0052
2	0.2	1.21	1.21	0.12	1.33	1.22	0.0114
3	0.30	1.33	1.33	0.13	1.46	1.35	0.0189
4	0.4	1.46	1.46	0.15	1.61	1.49	0.0277
5	0.5	1.61	1.61	0.16	1.77	1.65	0.0382
6	0.6	1.77	1.77	0.18	1.95	1.82	0.0506
7	0.7	1.95	1.95	0.19	2.14	2.01	0.0650
8	0.80	2.14	2.14	0.21	2.36	2.23	0.0820
9	0.90	2.36	2.36	0.24	2.59	2.46	0.1017
10	1.00	2.59				2.72	0.1245
Записей: 5102050100200500100010K100KВсе 1 - 11 из 11

 Ссылка  Сохранить  Виджет

Метод Эйлера

Предположим мы имеем следующее:

Если мы вычислим:

мы найдем производную y' в начальной точке.

Для достаточно малой , мы можем предположить значение y как

Или кратко

И в общем случае

Мы продолжаем вычислять следующие значения y используя это выражения до тех пор пока мы не достигнем точки x .

В этом заключается сущность метода Эйлера. - размер шага (приращение). Погрешность на каждом шаге (локальная погрешность) приблизительно пропорциональна квадрату приращения, таким образом, чем меньше приращение, тем точнее будет работать метод Эйлера. Однако общая погрешность (погрешность в конечной точке) накапливается за счет локальных погрешностей с каждым шагом. Общая погрешность пропорциональна приращению, поэтому метод Эйлера называют методом первого порядка точности.

Более сложные методы имеют более высокий порядок точности. Одна из возможностей - использовать большее число вычислений функции. Это проиллюстрировано тут: Midpoint method