homechevron_rightУчебаchevron_rightМатематика

Решение системы линейных уравнений методом Гаусса с нахождением общего решения

Решает систему линейных алгебраических уравнений методом Гаусса. Умеет выводить решение для совместных неопределенных систем линейных уравнений. Кроме того, выводит результат в формате с плавающей точкой и в формате дроби.

Вообще говоря, на сайте уже есть один калькулятор, решающий СЛАУ методом Гаусса — Решение системы линейных алгебраических уравнений методом Гаусса. Он даже расписывает решение пошагово.

Однако, у него есть некоторые недостатки, которые будет решать новый калькулятор из этой статьи:

Во-первых, предыдущий калькулятор выдает решение в формате с плавающей запятой, тогда как во многих задачниках ответ обычно дается в виде дроби.

Во-вторых, предыдущий калькулятор только определяет факт наличия бесконечного множества решений (неопределенная система), но не выдает решение в общем виде.

В-третьих, предыдущий калькулятор работает только в случае когда число уравнений совпадает с числом неизвестных, и таким образом, не может решать недоопределенных (число неизвестных больше числа уравнений) и переопределенных систем (число неизвестных меньше числа уравнений).

Что касается, второго и третьего пунктов, то универсальность метода Гаусса состоит в том, что на самом деле он годится для систем линейных уравнений с любым числом уравнений и неизвестных, просто это не было использовано.

Описание самого метода Гаусса можно посмотреть по ссылке выше, а под калькулятором подробнее рассмотрены разные случаи (виды систем).

Сам калькулятор, помимо нахождения единственного решения, может находить и общее решение в случае неопределенной системы уравнений.
Матрица уравнений из случая 2 ниже (совместная неопределенная система линейных уравнений) использована в нем в качестве входных данных по умолчанию:

PLANETCALC, Решение системы линейных уравнений методом Гаусса для любого числа уравнений и неизвестных

Решение системы линейных уравнений методом Гаусса для любого числа уравнений и неизвестных

Количество решений
 
Коэффициенты решения
 
Решение
Расчет можно сохранить, чтобы использовать в другой раз, extension установить на веб-сайт или share поделиться с друзьями.

1. Совместная определенная система линейных уравнений (имеющая одно решение)

Пример: пусть дана система линейных уравнений
\begin{cases}3x+2y+z=2; \\x-y+2z=-1;\\2x+2y+z=3;\end{cases}

После приведения матрицы к трапециевидной форме методом Гаусса получим:
\begin{array}{|ccc|c|}  3 &  2 &  1 &  2 \\  0 &  -5 &  5 &  -5 \\  0 &  0 & -5 & -5 \\ \end{array}

Откуда обратным ходом находим единственное решение:
x=-1; y=2; z=1
Система совместна и определена.

2. Совместная неопределенная система линейных уравнений (имеющая бесконечное множество решений)

Пример: пусть дана система линейных уравнений:
\begin{cases}x_1+2x_2-3x_3+5x_4=1; \\x_1+3x_2-13x_3+22x_4=-1;\\3x_1+5x_2+x_3-2x_4=5;\\2x_1+3x_2+4x_3-7x_4=4;\end{cases}

После приведения матрицы к трапециевидной форме методом Гаусса получим:
\begin{array}{|cccc|c|}  1 &  2 &  -3 &  5 & 1 \\  0 &  1 & -10 &  17 & -2 \\  0 &  0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{array}

В результате приходим к системе:
\begin{cases}x_1+2x_2-3x_3+5x_4=1; \\x_2-10x_3+17x_4=-2;\\0=0;\\0=0;\end{cases}

Последние два уравнения верны при любых значениях переменных:
0 \cdot x_1+0 \cdot x_2+0 \cdot x_3+0 \cdot x_4=0
поэтому их можно отбросить.

Чтобы найти решения оставшихся двух уравнений, x1 и x2 можно выразить через x3 и x4.
\begin{cases}x_2=10x_3-17x_4-2; \\x_1=-17x_3+29x_4+5;\end{cases}
При этом сами x3 и x4 могут принимать любые значения

Полученная эквивалентная система совместна, но неопределена. Формулы:
\begin{cases}x_1=-17x_3+29x_4+5; \\x_2=10x_3-17x_4-2; \\x_3 \in R; \\x_4 \in R; \end{cases};
при произвольных x3 и x4 описывают бесконечное множество решений заданной системы.

3. Несовместная система линейных уравнений (не имеющая решений)

Пример: пусть дана система линейных уравнений:
\begin{cases}x_1-2x_2+3x_3-4x_4=2; \\3x_1+3x_2-5x_3+x_4=-3;\\-2x_1+x_2+2x_3-3x_4=5;\\3x_1+3x_3-10x_4=8;\end{cases}

После приведения матрицы к трапециевидной форме методом Гаусса получим:
\begin{array}{|cccc|c|}  1 &  -2 &  3 &  -4 & 2 \\  0 &  9 & -14 &  13 & -9 \\  0 &  0 & 30 & -60 & 54 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 60 \\ \end{array}

Полученная эквивалентная система несовместна, так как последнее уравнение:
0 \cdot x_1+0 \cdot x_2+0 \cdot x_3+0 \cdot x_4=60
не может быть удовлетворено никакими значениями неизвестных.
Эта система несовместна, т. е. не имеет решения.

4. Переопределенная система линейных уравнений (число неизвестных меньше числа уравнений)

Пример: пусть дана система линейных уравнений
\begin{cases}x_1+2x_2+3x_3=6; \\2x_1-3x_2+x_3=0;\\3x_1-2x_2+4x_3=5;\\x_1-x_2+3x_3=3;\end{cases}

После приведения матрицы к трапециевидной форме методом Гаусса получим
\begin{array}{|ccc|c|}  1 &  2 &  3 &  6 \\  0 &  -7 & -5 &  -12 \\  0 &  0 & -5 & -5 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{array}

Как видим, в данном случае «лишнее» уравнение можно просто отбросить. Также в результате преобразований можно получить одинаковые строки, «лишние» из которых тоже можно отбросить — после чего задача сводится к случаям 1 или 2.

5. Недоопределенная система линейных уравнений (число неизвестных больше числа уравнений)

Пример: пусть дана система линейных уравнений:
\begin{cases}x_1-x_2+3x_3-4x_4=0; \\2x_1+3x_2+6x_3-8x_4=0;\end{cases}

После приведения матрицы к трапециевидной форме методом Гаусса получим:
\begin{array}{|cccc|c|}  1 &  -1 &  3 &  -4 & 0 \\  0 &  5 & 0 &  0 & 0 \\ \end{array}

Полученная эквивалентная система имеет вид:
\begin{cases}x_1-x_2+3x_3-4x_4=0; \\5x_2=0;\end{cases}

Как видно, в ней отсутствуют уравнения, дающие однозначные значения для x3 и x4, что равносильно появлению уравнений вида:
0 \cdot x_1+0 \cdot x_2+0 \cdot x_3+0 \cdot x_4=60
которые можно отбросить.

Таким образом этот случай сводится к случаю 2 с бесконечным множеством решений, которые описываются следующими формулами:
\begin{cases}x_1=-3x_3+4x_4; \\x_2=0; \\x_3 \in R; \\x_4 \in R; \end{cases}

Комментарии