Онлайн калькулятор: Характеристический многочлен

В линейной алгебре характеристическим многочленом квадратной матрицы A размера $n \times n$ называется многочлен, инвариантный относительно подобия матриц и имеющий своими корнями собственные числа этой матрицы. Многочлен $p_A(\lambda)$ является унитарным (его старший коэффициент равен 1), а его степень равна n. Представленный ниже калькулятор вычисляет коэффициенты характеристического многочлена квадратной матрицы с помощью алгоритма Фаддеева — Леверье. Теоретические сведения и формулы приведены под калькулятором.

Характеристический многочлен

Квадратная матрица

Показать шаги алгоритма

Точность вычисления

Знаков после запятой: 2

Характеристический многочлен

Файл очень большой, при загрузке и создании может наблюдаться торможение браузера.

Характеристический многочлен

Пусть дана квадратная матрица A; требуется найти многочлен, корнями которого являются собственные числа матрицы A. Для диагональной матрицы A характеристический многочлен определить легко: если диагональные элементы равны a₁, a₂, a₃ и т. д., то характеристический многочлен будет иметь вид:

$(t-a_1)(t-a_2)(t-a_3)\cdots,$

Это справедливо, поскольку диагональные элементы такой матрицы одновременно являются и ее собственными числами.

Для произвольной матрицы A можно поступить следующим образом. Скаляр $\lambda$ является собственным числом матрицы A тогда и только тогда, когда существует такой собственный вектор $\mathbf{v} \neq 0$ , что

$A \mathbf{v} = \lambda \mathbf{v},$

или

$(\lambda I - A)\mathbf{v} = 0\,$

(где I — единичная матрица). Поскольку вектор v отличен от нуля, матрица λI − A является вырожденной (необратимой), а значит, её определитель равен 0. Таким образом, корнями функции det(λI − A) являются собственные значения матрицы A; очевидно, что этот определитель представляет собой многочлен от λ.¹

В матричной форме многочлен от λ выглядит следующим образом:

$p(\lambda)=det \begin{bmatrix}\lambda - a_{11}&a_{12}&\dots &a_{1n}\\a_{21}&\lambda - a_{22}&\dots &a_{2n}\\ \dots & \dots & \dots & \dots \\a_{n1}&a_{n2}&\dots &\lambda - a_{nn}\end{bmatrix}$

В скалярной форме:

$p(\lambda )\equiv \det(\lambda I_{n}-A)=\sum _{k=0}^{n}c_{k}\lambda ^{k}~,$

где c_n = 1, а c₀ = (−1)ⁿ det A.

Коэффициенты можно найти с помощью рекурсивного алгоритма Фаддеева — Леверье (впервые опубликованного Урбеном Леверье в 1840 году и переработанного в современном виде Дмитрием Константиновичем Фаддеевым и другими).

Алгоритм Фаддеева — Леверье

Коэффициенты характеристического многочлена определяются рекурсивно, от старших к младшим, с помощью вспомогательных матриц M_k:

${\begin{aligned}M_{0}&\equiv 0&c_{n}&=1\qquad &(k=0)\\M_{k}&\equiv AM_{k-1}+c_{n-k+1}I\qquad \qquad &c_{n-k}&=-{\frac {1}{k}}\mathrm {tr} (AM_{k})\qquad &k=1,\ldots ,n~.\end{aligned}}$

Таким образом,

$M_{1}=I~, \quad c_{n-1}=-\mathrm {tr} A=-c_{n}\mathrm {tr} A;} \\{\displaystyle M_{2}=A-I\mathrm {tr} A, \\ \quad c_{n-2}=-{\frac {1}{2}}{\Bigl (}\mathrm {tr} A^{2}-(\mathrm {tr} A)^{2}{\Bigr )}=-{\frac {1}{2}}(c_{n}\mathrm {tr} A^{2}+c_{n-1}\mathrm {tr} A);} \\{\displaystyle M_{3}=A^{2}-A\mathrm {tr} A-{\frac {1}{2}}{\Bigl (}\mathrm {tr} A^{2}-(\mathrm {tr} A)^{2}{\Bigr )}I,} \\{\displaystyle c_{n-3}=-{\tfrac {1}{6}}{\Bigl (}(\operatorname {tr} A)^{3}-3\operatorname {tr} (A^{2})(\operatorname {tr} A)+2\operatorname {tr} (A^{3}){\Bigr )}=-{\frac {1}{3}}(c_{n}\mathrm {tr} A^{3}+c_{n-1}\mathrm {tr} A^{2}+c_{n-2}\mathrm {tr} A);$

и т. д.,

$M_{m}=\sum _{k=1}^{m}c_{n-m+k}A^{k-1}~,} \\{\displaystyle c_{n-m}=-{\frac {1}{m}}(c_{n}\mathrm {tr} A^{m}+c_{n-1}\mathrm {tr} A^{m-1}+...+c_{n-m+1}\mathrm {tr} A)=-{\frac {1}{m}}\sum _{k=1}^{m}c_{n-m+k}\mathrm {tr} A^{k}~;...$

Для вычисления коэффициентов калькулятор использует этот алгоритм. Он также может выводить вспомогательную матрицу M для каждого шага.

Википедия — Характеристический многочлен ↩

PLANETCALC Онлайн калькуляторы

Характеристический многочлен

Эта страница существует благодаря следующим персонам

Timur

Anton

Характеристический многочлен

Характеристический многочлен

Алгоритм Фаддеева — Леверье

Похожие калькуляторы

Комментарии

PLANETCALC Онлайн калькуляторы

Характеристический многочлен

Характеристический многочлен

Алгоритм Фаддеева — Леверье

Похожие калькуляторы

Комментарии

Поделиться этой страницей