Дискриминант
Вычисление дискриминанта квадратного многочлена и многочленов более высоких степеней.
Эта страница существует благодаря следующим персонам
 | Timur
|
Anton
|
В алгебре дискриминантом многочлена называется функция от многочлена, описывающая некоторые свойства корней, без их вычисления.1
Из школьного курса хорошо известна формула дискриминанта квадратного многочлена . Дискриминант равен
. Формула используется для вычисления корней квадратного уравнения.
Однако зная дискриминант можно предсказать некоторые свойства корней, не вычисляя их. В случае квадратичного полинома дискриминант равен нулю тольк в том случае, если имеется один двойной корень. Если дискриминант положителен - то имеются два различных вещественных корня, а если отрицательный - то два комплексно сопряженных.
Следующий калькулятор вычисляет дискриминант квадратичного полинома, а ниже него можно почитать немного теории.
Дискриминант квадратного многочлена
Дискриминант
Дискриминант многочлена степени n: может быть определен через результант или через корни.
Через корни полинома, дискриминант выражается следующим образом:
Через результант дискриминант можно выразить так:
где Res - результант многочлена A и его первой производной A'. Если коротко, то результант это определитель Матрицы Сильвестра составленной из A и A'.
В случае квадратного многочлена A производная A' будет равна
. Еси записать матрицу Сильвестра для этих двух многочленов и посчитать детерминант, то мы придем к уже известному:
.
Дискриминант полиномов более высоких степеней
Используя второе определение, можно вывести формулы для дискриминанта полиномов более высоких степеней (если перейти по ссылке ниже можно получить формулы для полиномов степеней 3 и 4 и других).
Последовательность OEIS A007878 содержит 5 членов суммы для вычисления дискриминанта полинома 3-й степени, 16 членов для 4-й, 59 членов для 5-й, и наконец 3815311 членов для полиномов 12-й степени.
Следующий калькулятор вычисляет дискриминант многочлена любой степени:
Комментарии