homechevron_rightУчебаchevron_rightМатематикаchevron_rightАлгебра

Дискриминант

Вычисление дискриминанта квадратного многочлена и многочленов более высоких степеней.

В алгебре дискриминантом многочлена называется функция от многочлена, описывающая некоторые свойства корней, без их вычисления.1

Из школьного курса хорошо известна формула дискриминанта квадратного многочлена ax^2+bx+c. Дискриминант равен b^2-4ac. Формула используется для вычисления корней квадратного уравнения.

Однако зная дискриминант можно предсказать некоторые свойства корней, не вычисляя их. В случае квадратичного полинома дискриминант равен нулю тольк в том случае, если имеется один двойной корень. Если дискриминант положителен - то имеются два различных вещественных корня, а если отрицательный - то два комплексно сопряженных.

Следующий калькулятор вычисляет дискриминант квадратичного полинома, а ниже него можно почитать немного теории.

PLANETCALC, Дискриминант квадратного многочлена

Дискриминант квадратного многочлена

Квадратный многочлен
 
Дискриминант
 
Корни многочлена
 

Дискриминант

Дискриминант многочлена степени n: A(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_{0} может быть определен через результант или через корни.

Через корни полинома, дискриминант выражается следующим образом:
{Disc}_{x}(A)={a_n}^{2n-2}\prod_{i < j}(r_{i}-r_{j})^{2}=(-1)^{{\frac{1}{2}}n(n-1)}{a_n}^{2n-2}\prod_{i\neq j}(r_{i}-r_{j})

Через результант дискриминант можно выразить так:
{Disc} _{x}(A)={\frac {(-1)^{\frac {n(n-1)}{2}}}{a_{n}}}\operatorname {Res} _{x}(A,A')
где Res - результант многочлена A и его первой производной A'. Если коротко, то результант это определитель Матрицы Сильвестра составленной из A и A'.

В случае квадратного многочлена A ax^2+bx+c производная A' будет равна 2ax+b. Еси записать матрицу Сильвестра для этих двух многочленов и посчитать детерминант, то мы придем к уже известному:b^2-4ac.

Дискриминант полиномов более высоких степеней

Используя второе определение, можно вывести формулы для дискриминанта полиномов более высоких степеней (если перейти по ссылке ниже можно получить формулы для полиномов степеней 3 и 4 и других).
Последовательность OEIS A007878 содержит 5 членов суммы для вычисления дискриминанта полинома 3-й степени, 16 членов для 4-й, 59 членов для 5-й, и наконец 3815311 членов для полиномов 12-й степени.
Следующий калькулятор вычисляет дискриминант многочлена любой степени:

PLANETCALC, Дискриминант

Дискриминант

Введите коэффициенты многочлена, через пробел начиная от более высокой степени к меньшей
Дискриминант
 
Входной многочлен
 
Производная
 

Creative Commons Attribution/Share-Alike License 3.0 (Unported) PLANETCALC, Дискриминант

Комментарии