homechevron_rightУчебаchevron_rightМатематикаchevron_rightГеометрия

Определение параметров правильного многоугольника по радиусам вписанной и описанной окружности

Определение числа сторон и длины одной стороны правильного многоугольника, если задан радиус описанной и радиус вписанной окружности.

circles.png



Вновь приходится возвращаться к теме описанной и вписанной окружности и правильному многоугольнику. Казалось бы, эта тема была закрыта калькуляторами Длина стороны правильного многоугольника для определения длины стороны многоугольника по радиусу и числу сторон и Правильный многоугольник. Описанная и вписанная окружность для определения радиуса по длине стороны и числу сторон, но нет.

Посетитель сайта попросил буквально следующее: «Сделайте пожалуйста такой калькулятор, который зная радиус вписанной и описанной окружностей найдет длину стороны многоугольника».

То есть, задача формулируется так: некоторый правильный многоугольник вписан в окружность с известным радиусом и вокруг него описана окружность с другим известным радиусом. Требуется найти параметры этого правильного многоугольника: число сторон и длину одной стороны.

Чтобы было понятнее, графически эта ситуация изображена на картинке слева.

Посмотрев внимательно на треугольник, образованный перпендикуляром из центра окружности к стороне многоугольника (радиус вписанной окружности r), отрезком, соединяющим центр окружности и ближайшую к перпендикуляру вершину многоугольника (радиус описанной окружности R), и собственно, половиной стороны многоугольника, нетрудно заметить, что радиусы связаны между собой соотношением

cos\frac{\alpha}{2}=\frac{r}{R}

где угол альфа, опирающийся на вершины многоугольника, связан следующим соотношением с числом сторон многоугольника n:

\alpha=\frac{2\pi}{n}

Таким образом, известные радиусы описанной и вписанной окружности дают нам однозначное соответствие с числом сторон правильного многоугольника.

n=\frac{\pi}{arccos\frac{r}{R}}

Длина стороны определяется тривиально.

Теперь по поводу калькулятора — поскольку в расчете есть иррациональное число, получить по этой формуле целое число сторон невозможно. Но, с другой стороны, мы-то знаем, что число сторон — это целое число. Поэтому калькулятор сначала вычисляет число сторон как есть, потом округляет до ближайшего целого, и, исходя из этого целого числа, делает расчет длины стороны и обратный расчет одного из радиусов (из чистого любопытства).

PLANETCALC, Определение параметров правильного многоугольника по радиусам вписанной и описанной окружности

Определение параметров правильного многоугольника по радиусам вписанной и описанной окружности

Знаков после запятой: 3
Число сторон, точно
 
Число сторон, округленно
 
Радиус вписанной окружности (для округленного числа сторон)
 
Длина стороны (для округленного числа сторон)
 

Комментарии