Определение ранга матрицы

Ниже калькулятор, вычисляющий ранг матрицы. Под ним, как водится, немного теории.

Определение ранга матрицы

3 2 -1 2 -1 5 1 7 -1

Матрица

Рассчитать

Ранг матрицы

 

 Ссылка  Сохранить  Виджет

Update: Меня тут попросили сформулировать попроще, что такое ранг матрицы. Если попроще, то это максимальное число линейно-независимых строк/столбцов матрицы (число строк и число столбцов совпадает), то есть таких строк/столбцов, которые нельзя получить друг из друга элементарными преобразованиями.

Например, у этой матрицы
3 -1 1
6 -2 2
ранг равен 1, потому что вторая строка есть первая, умноженная на 2.

Итак, несколько определений.

Пусть дана матрица А размеров n x m и число k, не превосходящее наименьшего из чисел m и n. Выберем произвольно k строк матрицы и k столбцов (номера строк могут отличаться от номеров столбцов). Определитель матрицы, составленной из элементов, стоящих на пересечении выбранных k строк и k столбцов, называется минором порядка k матрицы A . (Что такое определитель матрицы можно посмотреть здесь Определитель (детерминант) матрицы).

Рангом матрицы А называется наибольший из порядков миноров матрицы А, отличных от нуля. Ранг нулевой матрицы считается равным нулю.

Ненулевой минор наибольшего порядка называется базисным минором. Или, что тоже самое, минор матрицы А является ее базисным минором, если он не равен нулю, и его порядок равен рангу матрицы А.

Теорема о базисном миноре
Столбцы матрицы А, входящие в базисный минор, образуют линейно независимую систему. Любой столбец матрицы А линейно выражается через столбцы из базисного минора.

Минор Mок матрицы А называют окаймляющим минором для минора М, если он получается из последнего добавлением одной новой строки и одного нового столбца матрицы А. Порядок окаймляющего минора Мок на единицу больше порядка минора М

Понятно, что ранг матрицы можно вычислить, перебирая все миноры, но в данном калькуляторе для вычисления ранга матрицы применяется метод окаймляющих миноров, основанный на следующей теореме.

Теорема: Если для некоторого минора матрицы все окаймляющие его миноры равны нулю, то он является базисным. (А порядок, его, соответственно, равен рангу матрицы).

Метод окаймляющих миноров заключается в нахождении одного из базисных миноров матрицы и состоит в следующем:
Выбирается ненулевой минор первого порядка (ненулевой элемент матрицы). К очередному ненулевому минору последовательно добавляются такие строка и столбец, чтобы новый окаймляющий минор оказался ненулевым. Если этого сделать нельзя, то последний ненулевой минор является базисным.