Получить код ссылки
Внешний вид
Пример
РаботаСтроительство и ремонт

Подсчет труб с торца

Подход к подсчету числа вложенных окружностей меньшего радиуса при известной длине описывающей окружности большего радиуса. Создано по запросу пользователя
Timur2010-08-16 21:17:14
Собственно, идем по следам запроса подсчет труб с торца

Если вкратце - имеется пучок труб, чем-то связанных. Длину "веревки" можно померить. Радиус одной трубы - тоже. Требуется определить число труб в пучке без утомительного пересчитывания - расчетом.

Здравый смысл, впрочем, подсказывает, что расчетом совсем точно число труб в пучке определить нельзя - слишком много факторов. Окружность может быть неправильной, например, трубы могут улечься неравномерно и т.д.

Так что совсем без пересчитывания не получится, но задача сама по себе интересная, и можно попытаться вывести оценку сверху. Ну то есть рассчитать число труб для некоего идеального случая, тогда в реальности в пучке будет не больше труб, чем было рассчитано.

Калькулятор, который делает оценку сверху ниже, а рассуждения, которые привели к выводу этой оценки, как водится, под ним - для любознательных.

Подсчет числа упакованных окружностейCreative Commons Attribution/Share-Alike License 3.0 (Unported)
0.12345678901234567890
 Примерная общая площадь:
 Площадь одной окружности:
 Примерная полезная площадь:
 Число окружностей (оценка сверху):


Идеальный случай - все трубы лежат ровно, правильная окружность и т.п. В-общем, некоторые упрощения задачи, позволяющие применить геометрические знания и математический расчет :)

Кстати, оценку сверху тоже можно получать несколькими способами, и, в-общем, они будут справедливы. Тут ведь главное как можно ближе приблизиться к реальному числу.

Например, вот самая простая оценка сверху:
1. По длине описывающей окружности находим ее площадь, или площадь сечения всего пучка
l=2\pi R
R=\frac{l}{2\pi}
S=\pi R^2=\pi\frac{l^2}{4\pi^2}=\frac{l^2}{4\pi}

2. По радиусу трубы находим ее площадь сечения
S_t=\pi R_t^2

3. Делим общую площадь сечения на площадь сечения одной трубы

Очевидно, что это будет оценка сверху - больше труб чем получится в результате, в данную окружность не впихнешь. Но эта оценка сверху будет не очень точной, так как очевидно, что трубы лежат не вплотную друг к другу, а с зазорами, и часть общей площади сечения расходуется на дырки между трубами. См. картинку

basic1.jpgНадо учесть эти потери и сделать оценку числа труб более точной. Для начала разберемся с площадью зазора между трубами. Для этого рассмотрим треугольник, вершины которого образованы центрами соприкасающихся окружностей. Каждая сторона, очевидно, равна двум радиусам, и по формуле Герона его площадь равна \sqrt{3}R^2. Площадь эта состоит из полезного пространства, занятого тремя секторами (от каждой окружности), и дырки. Сектора эти, очевидно, имеют угол в 180 градусов, а значит площадь всех трех секторов равна половине площади окружности \frac{\pi R^2}{2}.
Таким образом, отношение полезной площади к общей площади треугольника равно \frac{S_p}{S_o}=\frac{\frac{\pi R^2}{2}}{\sqrt{3}R^2}=\frac{\pi}{2\sqrt{3}}
Самое замечательное в этом выводе то, что это соотношение никоим образом не зависит от радиуса.

basic2.jpgИдем дальше. Как видно из рисунка, "неплотно" упакованные окружности можно представить в виде "плотно" упакованных треугольников с дыркой посередине. Таким образом, имея общую площадь всего пучка, и считая, что это пучок треугольников - из соотношения выведенного выше, можно найти, сколько полезной площади в данном пучке - после чего разделить полученную полезную площадь на площадь одной окружности, получив, таким образом, еще одну оценку сверху числа труб в пучке.

Внимательный читатель может сказать - а как же потери площади на границе пучка? Визуально они больше, чем потери внутри пучка. Это действительно так. Но! Во-первых, это никоим образом не отменяет того, что мы получаем оценку сверху - как оценка сверху, она остается справедливой - ведь если потери площади на границах больше, то труб войдет немного меньше, чем мы рассчитали. Во-вторых, а насколько эти потери больше? Можно ли это оценить? Этим я сейчас и займусь.

basic3.jpgИтак, плотно упакованный пучок (кстати, то, что самой плотной упаковкой является вариант, при котором каждая окружность окружена шестью другими, доказано математически) можно представить как упакованные треугольники и упакованные прямоугольники, плюс одна окружность, образованная сгибами

Потери площади в прямоугольниках, действительно, больше. Применяя те же самые рассуждения, получаем, что отношение полезной и общей площади \frac{S_p}{S_o}=\frac{\frac{\pi R^2}{2}}{2R^2}=\frac{\pi}{4}. Величина опять постоянная, и их можно сравнить - полезной площади в прямоугольнике меньше в \frac{\frac{\pi}{4}}{\frac{\pi}{2\sqrt{3}}}=\frac{\sqrt{3}}{2}=0.866 раз.

То есть, общую площадь пучка заполняют треугольники с соотношением полезной площади \frac{\pi}{2\sqrt{3}}, прямоугольники с соотношением полезной площади \frac{\pi}{4} и еще одна "полезная" окружность. Таким образом, общая полезная площадь, исходя из которой можно найти число труб в пучке состоит из
S_p=\frac{\pi}{2\sqrt{3}}S_{triangles}+\frac{\pi}{4}S_{rectangles}+S_{circle}

Честно говоря, думать о том, как найти общую площадь треугольников и общую площадь прямоугольников было уже лень, но представляется очевидным, что с увеличением радиуса пучка число прямоугольников растет пропорционально длине окружности, а значит, радиусу, а вот число треугольников растет пропорционально площади окружности, а значит, квадрату радиуса - то есть быстрее. Отсюда следует, что при достаточно большом (по сравнению с радиусом одной окружности) общем радиусе пучка прямоугольной составляющей можно пренебречь, точнее, считать ее потери равными потерям треугольной составляющей, и тогда полезная площадь в пучке будет равна
S_p=\frac{\pi}{2\sqrt{3}}(S_o-S_{circle})+S_{circle}, а число труб в пучке, соответственно \frac{S_p}{S_{circle}}, которое смело можно округлять до ближайшего большего. Все ж таки оценка сверху.

Напомним, что речь идет о большом пучке, так как в маленьком (см. последнюю картинку) опоясывающая "веревка" вовсе не приближается по форме к окружности, то чем больше пучок по сравнению с одной окружностью, тем ближе его форма к одной большой окружности - такое вот упрощение.

Мне тут обещали пересчитать трубы и сравнить практику с теорией - теперь буду ждать

Комментарии

 Все обсуждения
Защита от спама