Получить код ссылки
Внешний вид
Пример
РаботаИнженерные

Зависимость температуры кипения воды от высоты над уровнем моря

Timur2009-02-26 10:18:07
После создания пары калькуляторов на тему давления вообще Конвертер единиц давления и атмосферного давления в частности Барометрическое нивелирование, захотелось узнать как рассчитать температуру кипения воды в зависимости от высоты. Я откуда-то знал, что на высоте вода кипит при температуре ниже 100С - а вот при какой точно температуре она кипит - вопрос.

Задача состоит из двух этапов - установить зависимость атмосферного давления от высоты, и зависимость температуры кипения от давления. Начнем с последнего, как с более интересного.

Кипение представляет собой фазовый переход первого рода. (вода сменяет агрегатное состояние из жидкого на газообразное).
Фазовый переход первого рода описывается уравнением Клапейрона:
\frac{dP}{dT}=\frac{q_{12}}{T(v_2-v_1)},
где
q_{12} - удельная теплота фазового перехода, которая численно равна количеству теплоты сообщаемой единице массы вещества для осуществления фазового перехода,
T - температура фазового перехода,
v_2 - v_1 - изменение удельного объема при переходе

Клаузиус упростил уравнение Клапейрона для случаев испарения и возгонки, предположив, что
1. Пар подчиняется закону идеального газа
2. Удельный объем жидкости много меньше удельного объема пара

Из пункта один следует, что состояние пара можно описать уравнением Менделеева-Клапейрона
PV=\frac{M}{\mu} RT,
а из пункта два - что удельным объемом жидкости v_1 можно пренебречь.

Таким образом, уравнение Клапейрона принимает вид
\frac{dP}{dT}=\frac{q_{12}}{Tv},
где удельный объем можно выразить через
v=\frac{V}{M}=\frac{RT}{P\mu},
и окончательно
\frac{dP}{dT}=\frac{q_{12}\mu P}{RT^2}
разделяя переменные, получим
\frac{1}{P}dP=\frac{q_{12}\mu }{RT^2}dT

Проинтегрировав левую часть от P_1 до P_2, а правую от T_1 до T_2, т.е. от одной точки (P_1,T_1) до другой точки (P_2,T_2), лежащей на линии равновесия жидкость-пар, получим уравнение
lnP_2-lnP_1=\frac{q_{12}\mu }{R}(\frac{1}{T_1}-\frac{1}{T_2})
называемое уравнением Клаузиуса-Клапейрона.

Собственно, это и есть искомая зависимость температуры кипения от давления.

Проведем еще пару преобразований
ln\frac{P_2}{P_1}=\frac{q_{12}\mu }{R}(\frac{1}{T_1}-\frac{1}{T_2})
\frac{P_2}{P_1}=e^{\frac{q_{12}\mu }{R}(\frac{1}{T_1}-\frac{1}{T_2})},
здесь
\mu - молярная масса воды, 18 г/моль
R - универсальная газовая постоянная, 8.31 Дж/(моль*К)
q_{12} - удельная теплота испарения воды 2.3*10^6 Дж/кг

Теперь осталось установить зависимость атмосферного давления от высоты. Здесь мы воспользуемся барометрической формулой (другой у нас все равно нет):
P=P_0e^{\frac{-\mu gh}{RT}}
или
\frac{P}{P_0}=e^{\frac{-\mu gh}{RT}},
здесь
\mu - молярная масса воздуха, 29 г/моль
R - универсальная газовая постоянная, 8.31 Дж/(моль*К)
g - ускорение силы тяжести, 9.81 м/(с*с)
T - температура воздуха

Значения, относящиеся к воздуху, пометим индексом v, к воде - h
Приравняв и избавившись от экспоненты, получим
-\frac{\mu_v gh}{RT_v}=\frac{q_{12}\mu_h }{R}(\frac{1}{T_0}-\frac{1}{T_h})

Ну и итоговая формула
T_h=\frac{T_0T_vq_{12}\mu_h}{q_{12}\mu_hT_v+\mu_vghT_0}

Теперь небольшая ложка дегтя - реальное давление воздуха не следует барометрической формуле, так как при больших перепадах высот температуру воздуха нельзя считать постоянной, кроме того, ускорение свободного падения зависит от географической широты, а атмосферное давление - еще и от концентрации паров воды. То есть значение по этой формуле мы получим приближенное.
Впрочем, оно не слишком сильно отличается от таблиц, которые можно найти в интернете.

Калькулятор:
Зависимость температуры кипения от высоты над уровнем моряCreative Commons Attribution/Share-Alike License 3.0 (Unported)
0.12345678901234567890
 Температура кипения:











Комментарии

 Все обсуждения
Защита от спама