Онлайн калькулятор: Зависимость температуры кипения воды от высоты над уровнем моря

После создания пары калькуляторов на тему давления вообще (Конвертер единиц давления) и атмосферного давления в частности (Барометрическое нивелирование), захотелось узнать, как рассчитать температуру кипения воды в зависимости от высоты. Я откуда-то знал, что на высоте вода кипит при температуре ниже 100°С — а вот при какой точно температуре она кипит — вопрос.

Задача состоит из двух этапов — установить зависимость атмосферного давления от высоты и зависимость температуры кипения от давления. Начнем с последнего, как с более интересного.

Кипение представляет собой фазовый переход первого рода (вода сменяет агрегатное состояние из жидкого на газообразное).
Фазовый переход первого рода описывается уравнением Клапейрона:
$\frac{dP}{dT}=\frac{q_{12}}{T(v_2-v_1)}$ ,
где
$q_{12}$ — удельная теплота фазового перехода, которая численно равна количеству теплоты сообщаемой единице массы вещества для осуществления фазового перехода,
$T$ — температура фазового перехода,
$v_2 - v_1$ — изменение удельного объема при переходе

Клаузиус упростил уравнение Клапейрона для случаев испарения и возгонки, предположив, что

Пар подчиняется закону идеального газа
Удельный объем жидкости много меньше удельного объема пара

Из пункта один следует, что состояние пара можно описать уравнением Менделеева-Клапейрона
$PV=\frac{M}{\mu} RT$ ,
а из пункта два — что удельным объемом жидкости $v_1$ можно пренебречь.

Таким образом, уравнение Клапейрона принимает вид
$\frac{dP}{dT}=\frac{q_{12}}{Tv}$ ,
где удельный объем можно выразить через
$v=\frac{V}{M}=\frac{RT}{P\mu}$ ,
и окончательно
$\frac{dP}{dT}=\frac{q_{12}\mu P}{RT^2}$
разделяя переменные, получим
$\frac{1}{P}dP=\frac{q_{12}\mu }{RT^2}dT$

Проинтегрировав левую часть от $P_1$ до $P_2$ , а правую от $T_1$ до $T_2$ , т.е. от одной точки $(P_1,T_1)$ до другой точки $(P_2,T_2)$ , лежащей на линии равновесия жидкость-пар, получим уравнение
$lnP_2-lnP_1=\frac{q_{12}\mu }{R}(\frac{1}{T_1}-\frac{1}{T_2})$
называемое уравнением Клаузиуса-Клапейрона.

Собственно, это и есть искомая зависимость температуры кипения от давления.

Проведем еще пару преобразований
$ln\frac{P_2}{P_1}=\frac{q_{12}\mu }{R}(\frac{1}{T_1}-\frac{1}{T_2})$
$\frac{P_2}{P_1}=e^{\frac{q_{12}\mu }{R}(\frac{1}{T_1}-\frac{1}{T_2})}$ ,
здесь
$\mu$ — молярная масса воды, 18 г/моль

$R$ — универсальная газовая постоянная, 8.31 Дж/(моль × К)

$q_{12}$ — удельная теплота испарения воды 2.3 × 10⁶ Дж/кг

Теперь осталось установить зависимость атмосферного давления от высоты. Здесь мы воспользуемся барометрической формулой (другой у нас все равно нет):
$P=P_0e^{\frac{-\mu gh}{RT}}$
или
$\frac{P}{P_0}=e^{\frac{-\mu gh}{RT}}$ ,
здесь
$\mu$ — молярная масса воздуха, 29 г/моль
$R$ — универсальная газовая постоянная, 8.31 Дж/(моль×К)
$g$ — ускорение силы тяжести, 9.81 м/(с×с)
$T$ — температура воздуха

Значения, относящиеся к воздуху, пометим индексом v, к воде — h
Приравняв и избавившись от экспоненты, получим
$-\frac{\mu_v gh}{RT_v}=\frac{q_{12}\mu_h }{R}(\frac{1}{T_0}-\frac{1}{T_h})$

Ну и итоговая формула
$T_h=\frac{T_0T_vq_{12}\mu_h}{q_{12}\mu_hT_v+\mu_vghT_0}$

На самом деле реальное давление воздуха не следует барометрической формуле, так как при больших перепадах высот температуру воздуха нельзя считать постоянной. Кроме того, ускорение свободного падения зависит от географической широты, а атмосферное давление - еще и от концентрации паров воды. То есть значение по этой формуле мы получим приближенное. Поэтому ниже я включил еще один калькулятор, который использует использует формулу $ln\frac{P_2}{P_1}=\frac{q_{12}\mu }{R}(\frac{1}{T_1}-\frac{1}{T_2})$ для расчет температуры кипения в зависимости от давления воздуха в миллиметрах ртутного столба.

Калькулятор зависимости температуры кипения от высоты:

Зависимость температуры кипения воды от высоты над уровнем моря

Высота

Высота (метры)

Температура

Температура воздуха (Цельсий)

Точность вычисления

Знаков после запятой: 1

Температура кипения

Калькулятор зависимости температуры кипения от давления:

Зависимость температуры кипения воды от давления

Давление воздуха, мм.рт.ст.

Точность вычисления

Знаков после запятой: 1

Температура кипения

PLANETCALC Онлайн калькуляторы

Зависимость температуры кипения воды от высоты над уровнем моря

Эта страница существует благодаря следующим персонам

Timur

Зависимость температуры кипения воды от высоты над уровнем моря

Зависимость температуры кипения воды от давления

Похожие калькуляторы

Комментарии

PLANETCALC Онлайн калькуляторы

Зависимость температуры кипения воды от высоты над уровнем моря

Зависимость температуры кипения воды от давления

Похожие калькуляторы

Комментарии

Поделиться этой страницей