homechevron_rightУчебаchevron_rightМатематикаchevron_rightАлгебра

Метод неопределенных коэффициентов

Калькулятор раскладывает дробь из двух многочленов на простейшие методом неопределенных коэффициентов.

Следующий калькулятор раскладывает полиномиальную дробь на сумму более простых дробей методом неопределенных коэффициентов. Числитель дроби - многочлен, который задается набором коэффициентов (коэффициенты задаются через пробел, начиная с коэффициента старшей степени). Знаменатель представляет собой произведение многочленов 1-й или 2-й степени, возведенных в некоторую степень (>=1). Многочлены-множители знаменателя задаются в виде таблицы коэффициентов, аналогично многочлену в числителе.

PLANETCALC, Разложение дроби на части

Разложение дроби на части

Разделенные пробелом коэффициенты многочлена.

Полиномиальные множители знаменателя

arrow_upwardarrow_downwardМножительarrow_upwardarrow_downwardСтепень
Размер страницы:

Задача
 

Решение

Решение
 

Еще один калькулятор, вычисляет то же самое, но он позволяет задать знаменатель в виде многочлена и сам пытается найти его разложение на множители. Если при разложении знаменателя окажется неразлагаемый множитель выше 2-й степени, то метод неопределенных коэффициентов не сработает.

PLANETCALC, Разложение дроби на части 2

Разложение дроби на части 2

Разделенные пробелом коэффициенты многочлена.
Коэффициенты многочлена, разделенные пробелом.
Задача
 
Решение
 

Метод неопределенных коэффициентов

Метод неопределенных коэффициентов для разложения полиномиальной дроби P(x)/Q(x), где P(x) и Q(x) - полиномы одно переменной в общем случае сводится к такой последовательности шагов:

  • Преобразуем знаменатель полинома Q(X) к моническому виду (старший коэффициент =1) для этого поделим P (x) и Q (x) на старший коэффициент Q (x)

\frac{P_1(x)}{Q_1(x)} = \frac{P(x)/lc(Q(x)}{Q(x)/lc(Q(x))}

  • Если степень P1(x) выше или равна степени Q1(x), выполним деление полиномов для нахождения общей части и остатка от деления (новый числитель) P2(x), степень которого меньше, чем степень Q1(x):

\frac{P_1(x)}{Q_1(x)} = quot(P_1(x),Q_1(x))  + \frac{P_2(x)}{Q_1(x)}, где P_2(x)=\frac{rem(P_1(x),Q_1(x))}{Q_1(x)}

  • находим разложение знаменателя как l множителей первой степени для вещественных корней Q1(x) и n квадратичных множителей для комплексных корней Q1(x):

Q_1(x) = (x-x_1)^{k_1}\cdots(x-x_l)^{k_l}(x^2+p_1x+q_1)^{m_1}\cdots(x^2+p_nx+q_n)^{m_n}

  • после этого переходим непосредственно к разложению методом неопределенных коэффициентов в виде:

\frac{P_2(x)}{Q_1(x)} =  \sum_{j=1}^l\sum_{k=1}^{k_j} \frac{a_{jk}}{(x-x_j)^k} + \sum_{j=1}^n\sum_{k=1}^{m_j} \frac{b_{jk}x+c_{jk}}{(x^2+p_jx+q_j)^k}, где ajk, bjk,cjk - вещественные числа. 1

  • приводим правую часть к общему знаменателю, путем умножения числителей дробей на недостающие полиномиальные множители
  • выполняем умножение полиномов в числителях, группируем выражения с неизвестными ajk, bjk,cjk относительно x различных степеней
  • приравниваем каждый коэффициент полинома P2(x) к линейному выражению с неизвестными ajk, bjk,cjk соответствующими той же степени x
  • Создаем и решаем систему уравнений, находя все ajk, bjk,cjk

Эти шаги будут отображены в деталях со ссылками на простейшие действия, если в калькуляторе включить галочку "Детали".


  1. В.А.Зорич Математический анализ том.1 

Creative Commons Attribution/Share-Alike License 3.0 (Unported) PLANETCALC, Метод неопределенных коэффициентов

Комментарии