Метод неопределенных коэффициентов

Следующий калькулятор раскладывает полиномиальную дробь на сумму более простых дробей методом неопределенных коэффициентов. Числитель дроби - многочлен, который задается набором коэффициентов (коэффициенты задаются через пробел, начиная с коэффициента старшей степени). Знаменатель представляет собой произведение многочленов 1-й или 2-й степени, возведенных в некоторую степень (>=1). Многочлены-множители знаменателя задаются в виде таблицы коэффициентов, аналогично многочлену в числителе.

Разложение дроби на части

Числитель

Разделенные пробелом коэффициенты многочлена.



Полиномиальные множители знаменателя

	Множитель	Степень
	1 1	3	
	1 0 1	2	

Детали

Рассчитать

Точность вычисления

Точно

Округленно

Знаков после запятой: 2

Задача

$\displaystyle{\frac{P(x)}{Q(x)}=\frac{2x^{6}+3x^{5}+6x^{4}+6x^{3}+10x^{2}+3x+2}{{(x+1)}^3{(x^{2}+1)}^2}=\frac{{a_{1_{1}}}}{(x+1)}+\frac{{a_{1_{2}}}}{{(x+1)}^2}+\frac{{a_{1_{3}}}}{{(x+1)}^3}+\frac{{b_{1_{1}}}{x}+{c_{1_{1}}}}{(x^{2}+1)}+\frac{{b_{1_{2}}}{x}+{c_{1_{2}}}}{{(x^{2}+1)}^2}}$

Решение

Решение

$\displaystyle{\frac{1}{x+1}-\frac{1}{{\left(x+1\right)}^{2}}+\frac{2}{{\left(x+1\right)}^{3}}+\frac{x-1}{x^{2}+1}+\frac{x+1}{{\left(x^{2}+1\right)}^{2}}}$

Файл очень большой, при загрузке и создании может наблюдаться торможение браузера.

Загрузить 



Детали решения

Описание	Формулы
Приведение к общему знаменателю	$P(x)={a_{1_{1}}}{(x+1)}^2{(x^{2}+1)}^2+{a_{1_{2}}}{(x+1)}{(x^{2}+1)}^2+{a_{1_{3}}}{(x^{2}+1)}^2+({b_{1_{1}}}{x}+{c_{1_{1}}}){(x+1)}^3{(x^{2}+1)}+({b_{1_{2}}}{x}+{c_{1_{2}}}){(x+1)}^3$
Раскрытие многочлена	$P(x)={a_{1_{1}}}{(x^{6}+2x^{5}+3x^{4}+4x^{3}+3x^{2}+2x+1)}+{a_{1_{2}}}{(x^{5}+x^{4}+2x^{3}+2x^{2}+x+1)}+{a_{1_{3}}}{(x^{4}+2x^{2}+1)}+({b_{1_{1}}}{x}+{c_{1_{1}}}){(x^{5}+3x^{4}+4x^{3}+4x^{2}+3x+1)}+({b_{1_{2}}}{x}+{c_{1_{2}}}){(x^{3}+3x^{2}+3x+1)}$
Группировка по x	$P(x)={(a_{1_{1}}+b_{1_{1}})}x^{6}+{(2a_{1_{1}}+a_{1_{2}}+c_{1_{1}}+3b_{1_{1}})}x^{5}+{(3a_{1_{1}}+a_{1_{2}}+a_{1_{3}}+3c_{1_{1}}+4b_{1_{1}}+b_{1_{2}})}x^{4}+{(4a_{1_{1}}+2a_{1_{2}}+4c_{1_{1}}+4b_{1_{1}}+c_{1_{2}}+3b_{1_{2}})}x^{3}+{(3a_{1_{1}}+2a_{1_{2}}+2a_{1_{3}}+4c_{1_{1}}+3b_{1_{1}}+3c_{1_{2}}+3b_{1_{2}})}x^{2}+{(2a_{1_{1}}+a_{1_{2}}+3c_{1_{1}}+b_{1_{1}}+3c_{1_{2}}+b_{1_{2}})}x+a_{1_{1}}+a_{1_{2}}+a_{1_{3}}+c_{1_{1}}+c_{1_{2}}$
Система линейных уравнений	$\begin{cases}\begin{align*}a_{1_{1}}+b_{1_{1}} = 2 \\ 2a_{1_{1}}+a_{1_{2}}+c_{1_{1}}+3b_{1_{1}} = 3 \\ 3a_{1_{1}}+a_{1_{2}}+a_{1_{3}}+3c_{1_{1}}+4b_{1_{1}}+b_{1_{2}} = 6 \\ 4a_{1_{1}}+2a_{1_{2}}+4c_{1_{1}}+4b_{1_{1}}+c_{1_{2}}+3b_{1_{2}} = 6 \\ 3a_{1_{1}}+2a_{1_{2}}+2a_{1_{3}}+4c_{1_{1}}+3b_{1_{1}}+3c_{1_{2}}+3b_{1_{2}} = 10 \\ 2a_{1_{1}}+a_{1_{2}}+3c_{1_{1}}+b_{1_{1}}+3c_{1_{2}}+b_{1_{2}} = 3 \\ a_{1_{1}}+a_{1_{2}}+a_{1_{3}}+c_{1_{1}}+c_{1_{2}} = 2\end{align*}\end{cases}$
В матричной форме	$\left[\begin{array}{rrrrrrr|r}1&0&0&1&0&0&0&2\\2&1&0&3&1&0&0&3\\3&1&1&4&3&1&0&6\\4&2&0&4&4&3&1&6\\3&2&2&3&4&3&3&10\\2&1&0&1&3&1&3&3\\1&1&1&0&1&0&1&2\\\end{array}\right]$
Решаем методом Гаусса	$\left[\begin{array}{rrrrrrr|r}1&0&0&0&0&0&0&1\\0&1&0&0&0&0&0&-1\\0&0&1&0&0&0&0&2\\0&0&0&1&0&0&0&1\\0&0&0&0&1&0&0&-1\\0&0&0&0&0&1&0&1\\0&0&0&0&0&0&1&1\\\end{array}\right]$
Записей: 5102050100200500100010K100KВсе 1 - 6 из 6

Файл очень большой, при загрузке и создании может наблюдаться торможение браузера.

Загрузить 



Дроби-слагаемые результата

Дробь	Числитель	Знаменатель	Степень знаменателя
$\frac{1}{x+1}$	$1$	$x+1$	1
$-\frac{1}{{\left(x+1\right)}^{2}}$	$-1$	$x+1$	2
$\frac{2}{{\left(x+1\right)}^{3}}$	$2$	$x+1$	3
$\frac{x-1}{x^{2}+1}$	$x-1$	$x^{2}+1$	1
$\frac{x+1}{{\left(x^{2}+1\right)}^{2}}$	$x+1$	$x^{2}+1$	2
Записей: 5102050100200500100010K100KВсе 1 - 5 из 5

 Ссылка  Сохранить  Виджет

Еще один калькулятор, вычисляет то же самое, но он позволяет задать знаменатель в виде многочлена и сам пытается найти его разложение на множители. Если при разложении знаменателя окажется неразлагаемый множитель выше 2-й степени, то метод неопределенных коэффициентов не сработает.

Разложение дроби на части 2

Числитель

Разделенные пробелом коэффициенты многочлена.

Знаменатель

Коэффициенты многочлена, разделенные пробелом.

Детали

Рассчитать

Точность вычисления

Точно

Округленно

Знаков после запятой: 2

Задача

 

Решение

 

Файл очень большой, при загрузке и создании может наблюдаться торможение браузера.

Загрузить 

Файл очень большой, при загрузке и создании может наблюдаться торможение браузера.

Загрузить 

 Ссылка  Сохранить  Виджет

Метод неопределенных коэффициентов

Метод неопределенных коэффициентов для разложения полиномиальной дроби P(x)/Q(x), где P(x) и Q(x) - полиномы одно переменной в общем случае сводится к такой последовательности шагов:

• Преобразуем знаменатель полинома Q(X) к моническому виду (старший коэффициент =1) для этого поделим P (x) и Q (x) на старший коэффициент Q (x)

• Если степень P₁(x) выше или равна степени Q₁(x), выполним деление полиномов для нахождения общей части и остатка от деления (новый числитель) P₂(x), степень которого меньше, чем степень Q₁(x):

, где

• находим разложение знаменателя как l множителей первой степени для вещественных корней Q₁(x) и n квадратичных множителей для комплексных корней Q₁(x):

• после этого переходим непосредственно к разложению методом неопределенных коэффициентов в виде:

, где a_jk, b_jk,c_jk - вещественные числа. ¹

• приводим правую часть к общему знаменателю, путем умножения числителей дробей на недостающие полиномиальные множители
• выполняем умножение полиномов в числителях, группируем выражения с неизвестными a_jk, b_jk,c_jk относительно x различных степеней
• приравниваем каждый коэффициент полинома P₂(x) к линейному выражению с неизвестными a_jk, b_jk,c_jk соответствующими той же степени x
• Создаем и решаем систему уравнений, находя все a_jk, b_jk,c_jk

Эти шаги будут отображены в деталях со ссылками на простейшие действия, если в калькуляторе включить галочку "Детали".