homechevron_rightУчебаchevron_rightМатематикаchevron_rightАлгебра

Синтетическое деление полиномов

Простой метод деления полиномов. Генерализация правила Руффини для делителя общего вида.

Синтетическое деление это простой способ евклидова деления полиномов с небольшим количеством записей и вычислений. Калькулятор ниже выполняет деление полиномов этим методом. Описание метода можно найти сразу под калькулятором.

PLANETCALC, Синтетическое деление

Синтетическое деление

Введите коэффициенты многочлена, который надо разделить, через пробел.

Введите коэффициенты многочлена-делителя через пробел.

Результат
 
Остаток
 
Схема синтетического деления
 

Подготовка к синтетическому делению

Будем рассматривать подготовку к делению на примере: 3x4+5x3+2x+4 / x2+2x+1.

Шаги подготовки

synthetic_division1.gif

1) Взять коэффициенты делителя с обратным знаком.
2) Записать коэффициенты делимого в верхней строке. Если коэффициента нет - записываем ноль.
3) Отбросим коэффициент делителя самой большой степени
4) Запишем коэффициенты делителя диагонально слева. Свободный член в самом верху

Синтетическое деление для монических делителеф

Изначально метод был разработан для делителей, являющихся моническими полиномами (коэффициент старшего члена = 1). Рассмотрим деление на примере: 3x4+5x3+2x+4 / x2+2x+1.

Алгоритм деления для монического делителя

synthetic_division.gif

1) Опустим старший коэффициент делимого в строку результата
2) Умножим диагональ с коэффициентами делителя на крайний левый коэффициент из строки результатов
3) Поместим результат умножения диагонально справа от последнего столбца с результатами
4) Выполним сложение значений в следующем столбце и результат занесем в строку результата
5) Будем повторять шаги 2-4 до тех пор пока будет куда заносить результат умножения. (Последний столбец - столбец со свободным членом делимого.) 6) Просуммируем значения всех оставшихся столбцов и впишем результат в строку результата
7) Отделим частное и остаток. Количество членов остатка будет равно количеству членов делителя за минусом одного.
Пример 1 (монический делитель)

Не монический делитель

Алгоритм работает так же и для обычных делителей ( не монических полиномов).
Рассмотрим на примере: 3x3+5x2+7x+2 / 3x2-x-2.

Алгоритм для не монического делителя

synthetic_division2.gif

1) Опустим старший коэффициент делимого в строку остатка (предпоследняя строка).
2) Поделим последний коэффициент в строке остатка на старший коэффициент делителя, результат запишем в строку результата (последняя строка) 3) Умножим диагональ с коэффициентами делителя на крайний левый коэффициент из строки результатов
4) Поместим результат умножения диагонально справа от последнего столбца с результатами
5) Выполним сложение значений в следующем столбце и результат занесем в строку остатка
6) Повторим шаги 2-5 тех пор пока будет куда заносить результат умножения. (Последний столбец - столбец со свободным членом делимого.) 6) Просуммируем значения всех оставшихся столбцов и впишем результат в строку остатка
7) Отделим частное и остаток. Коэффициенты частного будут в последнем столбце. Коэффициенты остатка - в предпоследнем. Количество членов остатка будет равно количеству членов делителя за минусом одного.
Пример 2 (не монический делитель)

Комментарии