homechevron_rightУчебаchevron_rightМатематикаchevron_rightГеометрия

Комплексные числа

Калькулятор отображает комплексное число на комплексной плоскости, отображает число в различных формах, вычисляет модуль, главный аргумент и сопряженное число для заданного комплексного числа.

Начиная с 16 века математики столкнулись с необходимостью введения комплексных чисел, то есть чисел вида a+bi, где a,b — вещественные числа, i — мнимая единица - число, для которого выполняется равенство: i2=-1.

Интересно проследить, как менялось представление о комплексных числах с течением времени. Вот некоторые цитаты из древних трудов:

  • XVI век : Эти сложнейшие величины бесполезны, хотя и весьма хитроумны. 1
  • XVII век : Мнимые числа — это прекрасное и чудесное убежище божественного духа, почти что амфибия бытия с небытием. 2
  • XVIII век : Квадратные корни из отрицательных чисел не равны нулю, не меньше нуля и не больше нуля. Из сего видно, что квадратные корни из отрицательных чисел не могут находиться среди возможных чисел. Поэтому, нам не остается ничего другого, как признать их невозможными числами. Это ведет нас к понятию таких чисел, которые по своей природе невозможны и обычно называются мнимыми или воображаемыми, потому что их только в уме представить можно. 3
  • XIX век Никто ведь не сомневается в точности результатов, получаемых при вычислениях с мнимыми количествами, хотя они представляют собой только алгебраические формы и иероглифы нелепых количеств. 4

Известно три способа записи комплексного числа z:

Алгебраическая запись комплексного числа

z = a + bi,
где a и b - вещественные числа, i - мнимая единица. a - действительная часть, bi - мнимая часть.

Тригонометрическая запись комплексного числа

z = r (\cos \vaphi +i \sin \varphi),
где r - модуль комплексного числа:
r = |z| =\sqrt{a^2+b^2}
, который соответствует расстоянию от точки на комплексной плоскости до начала координат, а φ - угол наклона вектора 0-z к оси действительных значений или аргумент комплексного числа.

Показательная запись комплексного числа

z = r e^{i\varphi} была введена Леонардом Эйлером для сокращения тригонометрической записи.

PLANETCALC, Комплексное число

Комплексное число

Знаков после запятой: 2
В тригонометрической форме
 
В показательной форме
 
Комплексное число
 
Модуль
 
Главный аргумент (радианы)
 
Главный аргумент (градусы)
 
Сопряженное число
 
Комплексная плоскость



Значение аргумент комплексного числа определяется с точностью до 2\pi{k}, для всех целых k. Главный аргумент - это значение аргумента, лежащее в диапазоне (-π..π].
Главный аргумент вычисляется как арктангенс отношения мнимой и действительной частей комплексного числа:
\varphi =\arg(z)={\begin{cases}\arctan \left({\dfrac {y}{x}}\right)&{\text{if }}x>0\\\arctan \left({\dfrac {y}{x}}\right)+\pi &{\text{if }}x<0{\text{ and }}y\geq 0\\\arctan \left({\dfrac {y}{x}}\right)-\pi &{\text{if }}x<0{\text{ and }}y<0\\{\dfrac {\pi }{2}}&{\text{if }}x=0{\text{ and }}y>0\\-{\dfrac {\pi }{2}}&{\text{if }}x=0{\text{ and }}y<0\\{\text{indeterminate }}&{\text{if }}x=0{\text{ and }}y=0.\end{cases}}
В javascript этому алгоритму соответствует функция Math.atan2.

Над комплексным числом возможны все алгебраические операции:

PLANETCALC, Действия над комплексными числами

Действия над комплексными числами

Знаков после запятой: 2
Результат (z)
 
Результаты

Сложение комплексных чисел

Комплексные числа складываются ровно так же, как и многочлены:
 z_1+z_2 = (a_1+a_2)+(b_1+b_2)i

Умножение комплексных чисел

Помня о том, что i*i=-1, легко выразить формулу для умножения комплексных чисел:
 z_1 \dot z_2 = ({a_1}{a_2}-{b_1}{b_2}) + ({a_1}{b_2}+{a_2}{b_1})i

Деление комплексных чисел

Формулу деления комплексных чисел проще всего вывести, путем умножения числителя и знаменателя на сопряженное комплексное число, для того, чтобы избавиться от мнимой единицы в знаменателе:
\frac{z_1}{z_2}=\frac{{z_1}\overline {z_2}}{{z_2}\overline {z_2}}
Сопряженное комплексное число, это число вида:
\overline z = a-b i
Раскрывая скобки получаем:
\frac{z_1}{z_2}=\frac{a_1a_2+b_1b_2}{a_2^2+b_2^2}+\frac{b_1a_2-a_1b_2}{a_2^2+b_2^2}i

Возведение в целую степень

Проще всего комплексное число возводить в степень используя показательную форму:
z^n=r^ne^{{i}{n}\phi}
формула вытекает из формулы Муавра:
{\big (}\cos(x)+i\sin(x){\big )}^{n}=\cos(nx)+i\sin(nx)

Вычисление корня степени n

Из формулы Муавра вытекает решение для корней степени n из комплексного числа:
\sqrt[n]{z} = r^{\frac {1}{n}}\left(\cos {\frac {x+2\pi k}{n}}+i\sin {\frac {x+2\pi k}{n}}\right),
всего получается n корней, где k = 0..n-1 - целое число, определяющее индекс корня. Корни располагаются на комплексной плоскости, как вершины правильного многоугольника.


  1. Дж. Кардано, Великое искусство, (1539) 

  2. Г. Лейбниц, приписываемый ему афоризм 

  3. Л. Эйлер, Универсальная арифметика (1768) § 142-143 

  4. Л. Карно, Размышления о метафизике исчисления бесконечно малых (1797) § 150 

Комментарии