Метод секущих

Немного теории о методе секущих под калькулятором.

Метод секущих

Уравнение

Начальное приближение x0

Начальное приближение x1

Критерий останова (погрешность)

Критерий останова (тип)

Приращение x

Отличие функции от нуля

Точность вычисления

Знаков после запятой: 4

Рассчитать

Формула

 

Файл очень большой, при загрузке и создании может наблюдаться торможение браузера.

Загрузить 

x

 

 Ссылка  Сохранить  Виджет

Метод секущих

Метод секущих — модификация метода Ньютона, в котором производная (вычислять ее не всегда удобно) заменена на секущую.
Секущая — прямая, проходящая через две точки на графике функции. В данном методе процесс итераций состоит в том, что в качестве приближений корню уравнения принимаются последовательные значения точек пересечения секущей с осью абсцисс.

Положим, что у нас есть две точки, x0 и x1, в которых значения функции равны соответственно f(x0) и f(x1). Тогда уравнение прямой, проходящей через эти точки, будет

Для точки пересечения с осью абсцисс (у=0) получим уравнение

Это и есть наша итерационная формула. Графическое отображение метода — на рисунке ниже.

Источник: Метод секущих. Первый случай

Метод работает и в случае, если начальные точки выбраны по одну и ту же сторону от корня (то есть, корня нет на отрезке между начальными приближениями), но при этом возможны случаи, когда метод не сходится.

Источник: Метод секущих. Второй случай

Метод секущих является двухшаговым, то есть, новое приближение определяется двумя предыдущими итерациями. Поэтому необходимо задавать два начальных приближения корня.

В качестве критерия останова берут один из следующих:

— значение функции на данной итерации стало меньше заданого ε.

— изменение хk в результате итерации стало меньше заданого ε.

Подробнее: Метод хорд