homechevron_rightУчебаchevron_rightМатематикаchevron_rightГеометрия

Метод секущих

Метод секущих — итерационный численный метод приближённого нахождения корня уравнения.

Немного теории о методе секущих под калькулятором.

PLANETCALC, Метод секущих

Метод секущих

Знаков после запятой: 4
Формула
 
Итерации
x
 

Метод секущих

Метод секущих — модификация метода Ньютона, в котором производная (вычислять ее не всегда удобно) заменена на секущую.
Секущая — прямая, проходящая через две точки на графике функции. В данном методе процесс итераций состоит в том, что в качестве приближений корню уравнения принимаются последовательные значения точек пересечения секущей с осью абсцисс.

Положим, что у нас есть две точки, x0 и x1, в которых значения функции равны соответственно f(x0) и f(x1). Тогда уравнение прямой, проходящей через эти точки, будет

\frac{y - f(x_1)}{f(x_1)-f(x_0)}=\frac{x - x_1}{x_1-x_0}

Для точки пересечения с осью абсцисс (у=0) получим уравнение

x = x_1 - \frac{x_1 - x_0}{f(x_1)-f(x_0)}f(x_1)

Это и есть наша итерационная формула. Графическое отображение метода — на рисунке ниже.

640px_1.png

Источник: Метод секущих. Первый случай

Метод работает и в случае, если начальные точки выбраны по одну и ту же сторону от корня (то есть, корня нет на отрезке между начальными приближениями), но при этом возможны случаи, когда метод не сходится.

640px_2.png

Источник: Метод секущих. Второй случай

Метод секущих является двухшаговым, то есть, новое приближение определяется двумя предыдущими итерациями. Поэтому необходимо задавать два начальных приближения корня.

В качестве критерия останова берут один из следующих:

f(x_k)< \epsilon — значение функции на данной итерации стало меньше заданого ε.

\left|x_k-x_{k-1}\right| < \epsilon — изменение хk в результате итерации стало меньше заданого ε.

Подробнее: Метод хорд

Комментарии