Онлайн калькулятор: Решение системы линейных алгебраических уравнений методом Гаусса

Система линейных уравнений вида:
$\begin{cases}a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \dots + a_{1n}x_n = b_1\\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \dots + a_{2n}x_n = b_2\\ \dots \\ a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + \dots + a_{mn}x_n = b_m\\ \end{cases}$
может быть решена методом Гаусса при помощи нашего калькулятора.

Система уравнений задается в виде расширенной матрицы, т. е. матрицы коэффициентов и свободных членов размерности [n : n+1] вида:
$\begin{array}{|cccc|c|} a_{11} & a_{12} & ... & a_{1n} & b_1\\ a_{21} & a_{22} & ... & a_{2n} & b_2\\ ... & ... & ... & ... & ...\\ a_{n1} & a_{n2} & ... & a_{nn} & b_n\\ \end{array}$
Описание метода Гаусса следует сразу за калькулятором.

Решение системы линейных уравнений методом Гаусса

СЛАУ в матричном виде

Точность вычисления

Знаков после запятой: 2

Количество решений

Вектор решения системы уравнений

1.80

6.31

-1.55

0.77

Файл очень большой, при загрузке и создании может наблюдаться торможение браузера.

Детали вычислений

Матрица

Действия над строками

8	3	4	5	31
14	4	33	23	17
15	4	23	7	22
4	11	17	1	51

Помножить на 8, вычесть 14 * строка 1

Помножить на 8, вычесть 15 * строка 1

Помножить на 8, вычесть 4 * строка 1

8	3	4	5	31
0	-10	208	114	-298
0	-13	124	-19	-289
0	76	120	-12	284

Помножить на -10, добавить 13 * строка 2

Помножить на -10, вычесть 76 * строка 2

8	3	4	5	31
0	-10	208	114	-298
0	0	1464	1672	-984
0	0	-17008	-8544	19808

Помножить на 1464, добавить 17008 * строка 3

8	3	4	5	31
0	-10	208	114	-298
0	0	1464	1672	-984
0	0	0	15928960	12263040

Поделить на 15928960

8	3	4	5	31
0	-10	208	114	-298
0	0	1464	1672	-984
0	0	0	1	0.77

Вычесть 5 * строка 4

Вычесть 114 * строка 4

Вычесть 1672 * строка 4

8	3	4	0	27.15
0	-10	208	0	-385.76
0	0	1464	0	-2271.20
0	0	0	1	0.77

Поделить на 1464

8	3	4	0	27.15
0	-10	208	0	-385.76
0	0	1	0	-1.55
0	0	0	1	0.77

Вычесть 4 * строка 3

Вычесть 208 * строка 3

8	3	0	0	33.36
0	-10	0	0	-63.08
0	0	1	0	-1.55
0	0	0	1	0.77

Поделить на -10

8	3	0	0	33.36
0	1	0	0	6.31
0	0	1	0	-1.55
0	0	0	1	0.77

Вычесть 3 * строка 2

8	0	0	0	14.43
0	1	0	0	6.31
0	0	1	0	-1.55
0	0	0	1	0.77

Поделить на 8

Записей:

1 - 10 из 11

Метод Гаусса

Метод был назван в честь гениального немецкого математика XIX века Карла Фридриха Гаусса. Сам Гаусс не был первооткрывателем метода (метод был известен и ранее (еще в I-II веке до н. э. метод упоминался в китайском труде «Математика в девяти книгах»).

Приведение матрицы к ступенчатому виду

На первом шаге решения системы уравнений методом Гаусса матрица коэффициентов и свободных членов приводится к ступенчатому виду:
$\begin{array}{|cccc|c|} a_{11} & a_{12} & ... & a_{1n} & \beta_1\\ 0 & a_{22} & ... & a_{2n} & \beta_2 \\ 0 & 0 & \ddots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & a_{nn} & \beta_n\\ \end{array}$

Матрица превращается в ступенчатую форму путем элементарных преобразований — перемена строк местами, умножение строки на коэффициент, сложение строк.
В нашем калькуляторе для перехода к ступенчатому виду осуществляется последовательное вычитание из нижних $A_j$ строк матрицы, помноженных на ${a_{ii}}$ , верхних строк $A_i$ , помноженных на коэффициент ${a_{ji}}$ , где i — индекс текущей строки (индекс строки, которую вычитают из нижних строк).
При осуществлении этой операции требуется, чтобы коэффициент главной переменной ${a_{ii}}$ был не нулевым. В случае нулевого коэффициента, строка меняется местами с любой другой нижней строкой, в которой в текущем столбце значение отлично от нуля.

Выражение базисных переменных

Получив ступенчатую матрицу, мы переходим к выражению базисных переменных, для этого сначала выполняется деление текущей строки на коэффициент ${a_{jj}}$ , затем производится обратное вычитание из верхних строк $A_i$ , этой строки $A_j$ , помноженных на коэффициент ${a_{ij}}$ , где j — индекс текущей строки (индекс строки, которую вычитают из верхних строк). Операция повторяется с каждой строкой, начиная от n-й до 1-й.
В результате матрица приобретает диагональный вид:
$\begin{array}{|cccc|c|} a_{11} & 0 & ... & 0 & \beta_1\\ 0 & a_{22} & \vdots & 0 & \beta_2 \\ 0 & 0 & \ddots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & a_{nn} & \beta_n\\ \end{array}$ ,
далее, поделив строки матрицы на коэффициент $a_{ii}$ , в столбце свободных членов получаем вектор решений системы уравнений.

PLANETCALC Онлайн калькуляторы

Решение системы линейных алгебраических уравнений методом Гаусса

Эта страница существует благодаря следующим персонам

Anton

Решение системы линейных уравнений методом Гаусса

Детали вычислений

Метод Гаусса

Приведение матрицы к ступенчатому виду

Выражение базисных переменных

Похожие калькуляторы

Комментарии

PLANETCALC Онлайн калькуляторы

Решение системы линейных уравнений методом Гаусса

Метод Гаусса

Приведение матрицы к ступенчатому виду

Выражение базисных переменных

Похожие калькуляторы

Комментарии

Поделиться этой страницей