Онлайн калькулятор: Аппроксимации нормального распределения

Нормальное распределение - наиболее широко применяемое распределение. До эпохи распространения микроэлектроники для получения значений конкретных величин использовались многочисленные таблицы. В наше время можно использовать готовые функции, встроенные в библиотеки или офисные пакеты, однако все они, так или иначе, основаны на известных аппроксимациях. Вот несколько известных аппроксимаций для характеристик нормального распределения с хорошей точностью.

1. Функция (закон) распределения

$F(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{x} e^{-\frac{(t-\mu)^2}{2\sigma^2}} \, dt$

Для удобства расчетов применяют нормированную стандартную величину $z=\frac{x-\mu}{\sigma}$ , для которой закон распределения выглядит следующим образом
$F(z) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{z} e^{-\frac{t^2}{2}} \, dt$

Аппроксимация с абсолютной погрешностью $\le 1 \cdot 10^7$ ¹

$F(z)=1-(\sqrt{2\pi} e^{\frac{z^2}{2}})^{-1}\Sigma_{i=1}^5 a_i \lambda^i$ ,

где $\lambda=(1+bz)^{-1}; b = 0.2316419; a_1 = 0.31938153; a_2 = -0.35656378; a_3 = 1.7814779; a_4 = -1.821256; a_5 = 1.3302744$

В расчетах используются положительные значения $z$ . Для расчета отрицательных значений используется соотношение $F(-z)=1-F(z)$

На иностранных ресурсах я встречал утверждение, что именно эта аппроксимация используется в Excel функции NORMSDIST.

Ниже небольшой калькулятор, который вычисляет функцию распределения, используя эту аппроксимацию.

Аппроксимация функции распределения стандартного нормального распределения

Функция распределения

Точность вычисления

Знаков после запятой: 3

2. Функция (интеграл) Лапласа

$\Phi(x) = \sqrt{\frac{2}{\pi}} \int_{0}^{x} e^{-\frac{t^2}{2}} \, dt$

В данном определении для положительного $x$ значение $\Phi(x)$ равно вероятности $P(-x \le X \le x)$ . Если нужна вероятность попадания в интервал $(0,x)$ , то она равна $\Phi(x)/2$ .
Иногда фунцию определяют как вероятность $P(0 \le X \le x)$ , т.е. формулу выше сразу делят на $2$ , тогда для расчета вероятности попадания в интервал $(-x,x)$ значение $\Phi(x)$ удваивают.

Зачем нужна такая функция? Затем, что вместо того, чтобы каждый раз считать площадь под кривой от $-\infty$ до $x$ (как в обычной функции распределения $F(x)$ ), удобно иметь отдельную функцию для интервала от $-x$ до $х$ , или для положительных отклонений, начиная от центра $0$ . Это упрощает многие расчёты, по сути, это «интервал» от $-x$ до $х$ , или «хвост» от центра до нужной точки, с которым удобно работать при проверке гипотез, доверительных интервалах и т.п.

Для формулы, используемой выше, связь между функцией Лапласа и законом распределения можно выразить соотношением
$\Phi(z)=2F(z)-1$ .

Аппроксимация с абсолютной погрешностью $\le 5 \cdot 10^7$ ²

$\Phi(z)=1-(1+10^{-6}z(c_6+z(c_5+z(c_4+z(c_3+z(c_2+zc_1))))))^{-16}$ ,

где $c_1=5.383;$ $c_2=48.891;$ $c_3=38.004;$ $c_4=3277.626;$ $c_5=21141.006;$ $c_6=49867.347$ .

Ниже небольшой калькулятор, который вычисляет функцию распределения, используя эту аппроксимацию.

Аппроксимация интеграла Лапласа стандартного нормального распределения

Интеграл Лапласа

Точность вычисления

Знаков после запятой: 3

3. p-квантиль $u_p$

p-квантиль $u_p$ , иногда обозначаемый также $z_p$ или $\Phi^{-1}(p)$ - это такое число, что вероятность случайной величине, имеющей стандартное нормальное распределение $N(0,1)$ , не превысить это число, равна $p$ . Иными словами:
$P(z \le u_p) = p$

Аппроксимация с абсолютной погрешностью $\le 0.00045$ ³

$u_p=t - \frac{\Sigma_{i=0}^2 c_i t^i}{1+\Sigma_{i=1}^3 d_i t^i}; t = [-2 ln(1-p)]^{\frac{1}{2}}$ ,

где $c_0=2.515517;$ $c_1=0.802853;$ $c_2=0.010328;$ $d_1=1.432788;$ $d_2=0.189269;$ $d_3=0.001308$ .

р-квантиль $u_p$ нормально распределенной случайной величины $N(\mu, \sigma)$ связан с квантилью $u_p^c$ случайной величины, имеющей стандартное нормальное распределение $N(0,1)$ , соотношением
$u_p = \mu + u_p^c \sigma$

Ниже небольшой калькулятор, который вычисляет функцию распределения, используя эту аппроксимацию.

Аппроксимация p-квантиля стандартного нормального распределения

Вероятность p

p-квантиль

Точность вычисления

Знаков после запятой: 3

Дьяконов В.П. Справочник по расчетам на микрокалькуляторах. - М.: Наука, 1986 ↩
Справочник по специальным функциям / Под ред. М. Абрамовица и И.М. Стиган. - М.: Наука, 1979 ↩
Kennedy W.J., Gentle J.E. Statistical computing, Marcel Dreker Inc., New York and Basel, 1980. ↩

PLANETCALC Онлайн калькуляторы

Аппроксимации нормального распределения

1. Функция (закон) распределения

Аппроксимация функции распределения стандартного нормального распределения

2. Функция (интеграл) Лапласа

Аппроксимация интеграла Лапласа стандартного нормального распределения

3. p-квантиль $u_p$

Аппроксимация p-квантиля стандартного нормального распределения

Похожие калькуляторы

Комментарии

PLANETCALC Онлайн калькуляторы

1. Функция (закон) распределения

Аппроксимация функции распределения стандартного нормального распределения

2. Функция (интеграл) Лапласа

Аппроксимация интеграла Лапласа стандартного нормального распределения

3. p-квантиль

Аппроксимация p-квантиля стандартного нормального распределения

Похожие калькуляторы

Комментарии

Поделиться этой страницей

3. p-квантиль $u_p$