Получить код ссылки
Внешний вид
Пример
УчебаФизика

Волны и ветер. Статистическое прогнозирование высоты волны

Прогнозирование высоты волны в зависимости от силы ветра.
Timur2015-02-18 12:57:22

Калькулятор для прогноза высоты волны. Вычисляет высоту значительных волн, то есть дает статистический прогноз. Для интересующихся, некоторые рассуждения и формулы приведены под калькулятором.

Волны и ветер. Статистическое прогнозирование высоты волныCreative Commons Attribution/Share-Alike License 3.0 (Unported)
0.12345678901234567890
 
 

В статье Волны и ветер. Расчет характеристик волны я рассмотрел как по периоду волны можно попытаться оценить ее скорость. И там же я упомянул про понятие полностью сформированная волна (fully developed sea) — т. е. волна, достигнувшая максимальных характеристик при данном ветре. Такая волна находится в состоянии равновесия по энергии - сколько сообщается энергии ветром, столько и тратится.

Надо помнить, что не каждая волна достигает такого состояния, так как требуется, чтобы ветер постоянно дул над всей поверхностью, которую проходит волна в течении некоторого времени. И чем сильнее ветер, тем больше времени и больше расстояния требуется для формирования такой волны. Но зато уж если она сформировалась, ее фазовая скорость догонит скорость ветра.

Самое время рассказать про прогнозирование высоты волны в зависимости от скорости ветра. Задача, в общем, не праздная, а нужная при проектировании, например, морских и береговых сооружений. Несмотря на это, в интернете я довольно долго не мог найти информацию по вычислению высоты волны в зависимости от силы ветра. Наконец, на одном англоязычном форуме я нашел запись, типа, а если вы хотите формулы, то смотрите в «Shore Protection Manual». Мануал этот, написанный Coastal Engineering Research Center (US Army Corps of Engineers), и в самом деле замечательная книга. Но вышла в 1984 году, поэтому хотелось чего-то поновее. Зато стало понятно, где искать, и действительно, скоро удалось найти «Coastal Engineering Manual», выпущенный тем же US Army Corps of Engineers, но зато редакцию 2008 года. Книга эта, которая заменила «Shore Protection Manual» (что в ней упоминается), тоже весьма интересная, так что всем рекомендую. Собственно, информация, в том числе формулы, упомянутые ниже, взяты оттуда.

Статистическое прогнозирование волн

Разработка теории волн началась довольно давно, еще в конце девятнадцатого века. Но до второй мировой войны, направленного изучения и разработки моделей, позволяющих предсказать поведение волн, не было. Во время войны и после была набрана база наблюдений, которая позволила начать разработку эмпирических моделей.

Основным постулатом метода эмпирического прогноза является утверждение, что отношения между безразмерными параметрами волны подчиняются универсальным законам (ну и все модели, в общем-то, пытаются подобрать коэффициенты для связей между параметрами таким образом, чтобы они достаточно близко соответствовали параметрам, полученным в результате реальных наблюдений).

Основным из этих законов является закон ограниченного роста. В русском названии я не уверен, так как информации на русском я не нашел, поэтому перевожу, как мне кажется. В оригинале это fetch-growth law. Закон утверждает, что при постоянной скорости и направлении ветра над фиксированным расстоянием (fetch), можно ожидать, что волны достигнут стационарного состояния, зависящего от длины разгона (fetch-limited state of development). В такой ситуации, высота волны будет оставаться постоянной (в статистическом смысле) с течением времени, но будет меняться вдоль разгона.

Разгон — термин, использующийся в русскоязычной литературе. Под разгоном ветра понимается длина водного пространства, на котором ветер постоянного направления воздействует на поверхность моря. Это термин я случайно нашел в третьей главе книги К. П. Васильева «Что должен знать судоводитель о картах погоды и состояния моря», здесь. Книга, правда, 1980-го года издания, поэтому формулы из нее не брал.

Казалось бы, с увеличением времени и длины разгона ветра определенной скорости волна может расти бесконечно, но на практике этого не происходит.

В 1950-х исследователи пришли к выводу, что образование волн лучше описывать через волновой спектр (распределение энергии волн в зависимости от частоты) и передачу энергии от ветра к волне (про это немного есть в первой статье). И, как уже было упомянуто выше, волна перестает расти, достигнув некоторого стабильного состояния, баланса по энергии, и становится полностью сформированной волной (fully developed sea).

Было выведено эмпирическое соотношение для высоты полностью сформированной волны, которое может служить как верхняя граница оценки высоты волны для любой скорости ветра.

H_f=\frac{\lambda_5 u^2}{g}

где, H_f — высота полностью сформированной волны
\lambda_5 — безразмерный коэффициент, приблизительно равный 0.27
u — скорость ветра
g — ускорение свободного падения.

Дальше все только усложнялось. Был собран большой массив измерений, в частности в ходе проекта по исследованию Северной Атлантики JONSWAP (Joint North Sea Wave Project). На смену моделям прогнозирования волн первого поколения пришли модели второго поколения, использующие энергетический спектр. В начале 1980-х появились модели волн третьего поколения (3G). Собственно, до моделей четвертого поколения дело еще не дошло, а наиболее часто используемой моделью третьего поколения является модель WAM (Hasselmann, S., et al., WAMDI Group, The WAM model ‐ A third generation ocean wave prediction model, J. Phys. Oceanogr., 18, 1775–1810, 1988.)

Конечно, недостатки еще есть, например, эти модели не позволяют прогнозировать волны в условиях быстро меняющегося ветра, но считается, что модели третьего поколения в общем дают достаточно хорошие прогнозы для широкого диапазона метеорологических ситуаций, и рекомендуются к использованию для оценки поведения волн при проектировании и планировании, при этом, где возможно, полученные данные надо сверять с данными реальных измерений.

В докомпьютерную эпоху для прогноза высоты волн в достаточно простых ситуациях, например, для предварительной оценки или для небольших проектов, можно было использовать построенные по модели номограммы, которые были приведены, например, в том же Shore Protection Manual 1984 года. Это чтобы инженеры не считали, а использовали карандаш и линейку. Сейчас используется специализированное программное обеспечение, но авторы Coastal Engineering Manual любезно привели все уравнения, которые мы и посмотрим далее.

Возможны три ситуации, когда упрощенный прогноз будет давать достаточно точную оценку.

  1. Ветер дует в постоянном направлении над некоторым расстоянием и не ограничен временем (времени достаточно) — тогда рост волны определяется и ограничивается длиной разгона (fetch-limited).
  2. Ветер возрастает очень быстро в течении короткого периода времени и не ограничен расстоянием (расстояния достаточно) — тогда рост волны определяется и ограничивается прошедшим временем (duration-limited). В природе такое встречается очень редко.
  3. Ветер дует в постоянном направлении над достаточным расстоянием и в течении достаточного времени, чтобы волна в данных условиях полностью сформировалась (fully developed wave). Отметим, что даже в открытом океане волны редко достигают предельных значений при скоростях ветра более 50 узлов.

Эмпирически были получены следующие зависимости для случая, когда рост волн ограничен длиной разгона.

Время, которое потребуется волнам под действием ветра со скоростью u на расстоянии X чтобы достигнуть максимально возможного для данного расстояния значения высоты:
t_{x,u}=77.23\frac{X^{0.67}}{u^{0.34}g^{0.33}}

Связь между значимой высотой волны H_m_0 и расстоянием X:
\frac{gH_{m_0}}{ u^2_f }=4.13*10^{-2}*(\frac{gX}{u^2_f})^{\frac{1}{2}}

Связь между периодом волны T_p и расстоянием X:
\frac{gT_p}{ u_f }=0.751*(\frac{gX}{u^2_f})^{\frac{1}{3}}

Коэффициент аэродинамического сопротивления:
C_D=\frac{u^2_f}{U^2_{10}}
C_D=0.001(1.1+0.035U_{10})

Для полностью сформированной волны:
\frac{gH_{m_0}}{ u^2_f }=2.115*10^2
\frac{gT_p}{ u_f }=2.398*10^2

Также полезен переход от продолжительности действия ветра к длине разгона (т. е. воздействие ветра в течении некоторого времени можно заменить воздействием ветра на некотором расстоянии)
\frac{gX}{ u^2_f }=5.23*10^{-3}*(\frac{gt}{u_f})^{\frac{3}{2}}

где
U_{10} - скорость ветра на высоте 10 метров
u_f - скорость трения.

Таким образом, если известно и продолжительность действия и длина разгона ветра, то надо выбрать наиболее ограничивающее значение. В случае, если высоту генерации волны ограничивает время, надо заменить его на эквивалентное расстояние и рассчитывать высоту волны по нему.

Для случая мелкой воды уравнения продолжают оставаться верными за исключением дополнительного ограничения, согласно которому период волны не может превышать следующего соотношения:
T_p\approx9.78(\frac{d}{g})^\frac{1}{2},
где d — глубина.

Тогда порядок прогнозирования высоты волны для мелкой воды такой:

  1. Оценить период волны для заданного расстояния и скорости ветра, используя обычные формулы.
  2. В случае мелкой воды проверить выполнение условия по периоду и глубине. При превышении взять граничное значение.
  3. В случае работы с граничным значением периода волны найти расстояние, соответствующее генерации волн с таким периодом.
  4. Рассчитать высоту в соответствии со значением расстояния.
  5. Если высота волны превышает 0.6 значения глубины, ограничить высоту 0.6 глубины.

Ну и напоследок, пара важных замечаний.

  1. Данные эмпирические формулы выведены для относительно нормальных метеорологических условий, и не применимы для оценки высоты волны в случае урагана, например. Номограммы, приведенные в справочнике, построены для скоростей ветра не выше 37.5 м/с. Для сравнения, скорость ветра 33–42 м/с - ураган первой категории по шкале Саффира-Симпсона.

  2. Данные эмпирические формулы служат для статистического прогнозирования высоты волн, поэтому высота в этих формулах есть не что иное, как высота значительных волн (significant wave height), определенная через дисперсию волнового спектра следующим образом: H_{m_0}=4\sqrt{M_0}.
    Это более современное определение высоты значительных волн, а самое первое определение, которое было дано Вальтером Мунком во время второй мировой войны, звучало так: «Средняя высота одной трети самых высоких волн». Предполагалось, что это математически выражает оценку высоты волн, которую обычно дает «опытный наблюдатель». Разница между этими двумя определениями в несколько процентов, более старое определение обычно обозначают H_{1/3}.

Таким образом, получив оценку высоты значительных волн для заданных условий, надо осознавать, что большинство волн (где-то 2/3) будут ниже этой высоты, НО могут встретиться и волны, которые выше этой высоты. Считается, что статистическое распределение волн по высоте хорошо аппроксимируется распределением Релея, таким образом, если предположить, что наша оценка высоты 10 метров, то можно ожидать что 1 из 10 волн будет больше чем 10.7 метров, 1 из 100 волн будет больше чем 15.1 метров, 1 из 1000 волн будет больше 18.6 метров. Подробнее.

В реальности, в связи с постоянно меняющимися условиями, такое, почти двукратное превышение, конечно, редкость, но иногда бывает — смотри Волны-убийцы.

Комментарии