homechevron_rightУчебаchevron_rightФизика

Волны и ветер. Расчет характеристик волны

Расчет параметров морских волн.

Пользователь оставил нам на сайте запрос — калькулятор штормовых баллов морской волны, где попросил создать калькулятор «Расчет по высоте волны и промежутками между волнами(частота)?».

Интуиция подсказывала, что какая-то зависимость между силой ветра и волнами есть. Так как я в теории волн не силен, пришлось вопрос слегка изучить.
Результат изучения в виде калькулятора чуть ниже, а под ним мои рассуждения на тему, родившиеся в результате копания в разных источниках, то есть немного теории. Сразу скажу, что калькулятор не рассчитывает, а точнее говоря, не прогнозирует высоту волны — это отдельная тема, которая рассмотрена здесь — Волны и ветер. Статистическое прогнозирование высоты волны.

Создано на PLANETCALC

Расчет характеристик волны

Знаков после запятой: 2
Относительная глубина
 
Длина волны (метры)
 
Угловая частота (рад/с)
 
Волновое число
 
Фазовая скорость (м/с)
 
Групповая скорость (м/с)
 

Теория

Достаточно очевидно, что волны на море не могут быть описаны одной синусоидой, так как образуются в результате наложения множества волн с разными периодами и фазами. Для примера можно посмотреть на картинку ниже, которая показывает волну, полученную в результате наложения трех разных синусоид.

"Wave disp" by Kraaiennest - Own work. Licensed under GFDL via Wikimedia Commons - http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Wave_disp.gif#mediaviewer/File:Wave_disp.gif



Источник: "Wave disp" by Kraaiennest - Own work. Licensed under GFDL via Wikimedia Commons - http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Wave_disp.gif#mediaviewer/File:Wave_disp.gif

Поэтому для анализа состояния моря обычно строят энергетический спектр, то есть откладывают по оси Y единицы энергии, а по оси X — частоту, получая таким образом плотность энергии — количество энергии, переносимой волнами с соответствующим диапазоном частот. И, как оказалось, под действием ветра, форма энергетического спектра меняется, причем чем сильнее ветер, тем более ярко на спектре выражен пик — волны определенных частот, переносящие наибольшее количество энергии. На картинке ниже как умел нарисовал, как это примерно выглядит.

Распределение энергии по спектру частот в зависимости от силы ветра

Частоты, где наблюдается пик, называют доминантными. Соответственно, можно облегчить себе жизнь и рассчитать характеристики волны только для доминантной частоты. Как показала практика, это будет давать достаточно хорошее приближение к реальности.

Ну а что касается характеристик волны, на помощь приходит линейная теория волн, а именно, расчет гравитационных волн в линеаризованном приближении. Чтобы было понятнее о чем речь дальше, приведем несколько определений из Википедии:

Волны на поверхности жидкости — название разнообразных волн, возникающих на поверхности раздела между жидкостью и газом или жидкостью и жидкостью. Нижняя часть волны называется подошвой, верхняя — гребнем.

Гравитационные волны на воде — разновидность волн на поверхности жидкости, при которых сила, возвращающая деформированную поверхность жидкости к состоянию равновесия, есть просто сила тяжести, связанная с перепадом высот гребня и впадины в гравитационном поле.

Дисперсия волн — в теории волн различие фазовых скоростей линейных волн в зависимости от их частоты. То есть волны разной длины (соответственно, разной частоты) имеют разные скорости в среде, что убедительно демонстрирует опыт с преломлением света в призме. Это важно понимать для дальнейших рассуждений.

Волновое число — это отношение 2π радиан к длине волны: k \equiv \frac{2\pi}{\lambda}. Волновое число можно представить как разность фазы волны (в радианах) в один и тот же момент времени в пространственных точках на расстоянии единицы длины (одного метра), либо количество пространственных периодов (гребней) волны, приходящееся на 2π метров.

Используя определение волнового числа можно записать следующие формулы:

Длина волны

\lambda=\frac{2\pi}{k}

Фазовая скорость (Скорость гребня)

c=\frac{\omega}{k}

Период волны (выраженный через угловую частоту)

T=\frac{2\pi}{\omega}

Картинка для привлечения внимания - красная точка показывает фазовую скорость, зеленая — групповую скорость (скорость пакета волн).

"Wave group" by Kraaiennest - Own work. Licensed under GFDL via Wikimedia Commons - http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Wave_group.gif#mediaviewer/File:Wave_group.gif



Источник: "Wave group" by Kraaiennest - Own work. Licensed under GFDL via Wikimedia Commons - http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Wave_group.gif#mediaviewer/File:Wave_group.gif

Закон дисперсии

Ключевым моментом в расчете характеристик волны является понятие закона дисперсии или дисперсионного уравнения (соотношения) .

Закон дисперсии или дисперсионное уравнение (соотношение) в теории волн — это связь частоты и волнового вектора (волнового числа) волны.

В общем виде это соотношение записывается как
\omega=f(k).

Это соотношение для воды выведено в линейной теории волн для так называемой свободной поверхности, то есть поверхности жидкости, не ограниченной стенками сосуда или русла, и выглядит следующим образом:

\omega^2=gk \tanh(kh),
где
g — ускорение свободного падения,
k — волновое число,
tanh — гиперболический тангенс,
h — расстояние от поверхности жидкости до дна.

Можно провести дальнейшее упрощение формулы, исходя из графика гиперболического тангенса. Заметим, что при kh, стремящемся к нулю, гиперболический тангенс может быть аппроксимирован своим аргументом, т. е. значением kh, а при kh, стремящемся к бесконечности, гиперболический тангенс kh стремится к единице. Последний случай, очевидно, относится к очень большим глубинам. Можно ли оценить, насколько они должны быть большие? Если взять гиперболический тангенс числа Пи, то его значение равно примерно 0.9964, что уже довольно близко к единице (число Пи взято для удобства работы с формулой). Тогда
kh\geq\pi \Rightarrow \frac{2 \pi h}{\lambda}\geq\pi \Rightarrow h\geq\frac{\lambda}{2}.
То есть для расчета характеристик волны воду можно считать глубокой, если глубина больше хотя бы половины длины волны, и в большинстве мест мирового океана это условие соблюдается.

Вообще, исходя из графика гиперболического тангенса, используется следующая классификация волн по относительной глубине (соотношению глубины к длине волны).

1. Волны на глубокой воде
Глубина больше половины длины волны, гиперболический тангенс аппроксимируется единицей:

h\geq\frac{\lambda}{2}, \tanh(kd)\approx1

2. Волны на переходных глубинах
Глубина от одной двадцатой до одной второй длины волны, гиперболический тангенс не аппроксимируется:

\frac{\lambda}{20} \leq h \leq \frac{\lambda}{2}, \tanh(kd)=\tanh(kd)

3. Волны на мелкой воде
Глубина меньше одной двадцатой длины волны, гиперболический тангенс аппроксимируется своим аргументом:

h\leq\frac{\lambda}{20}, \tanh(kd)=kd

Рассмотрим соотношения для этих случаев

Случай мелкой воды

Уравнение приобретает вид
\omega^2=gk(kh)=ghk^2,
откуда
c=\sqrt{gh}\lambda=T\sqrt{gh}

Групповая скорость для случая мелкой воды

c_g=c=\sqrt{gh}

То есть, в соответствии с теорией, на мелкой воде волны не должны иметь дисперсии, так как фазовая скорость не зависит от частоты. Однако надо учитывать, что на мелкой воде начинают работать нелинейные эффекты, связанные с повышением амплитуды волны. Нелинейные эффекты сказываются, когда амплитуда волны становится сравнимой с её длиной. Одним из характерных эффектов в этом режиме является появление изломов на вершинах волн. Кроме того, появляется возможность опрокидывания волны — всем известный прибой. Эти эффекты пока не поддаются точному аналитическому расчёту.

Случай переходных глубин

Уравнение не упрощается, и тогда:
c=\frac{gT}{2\pi}\tanh(\frac{2\pi d}{\lambda})\lambda=\frac{gT^2}{2\pi}\tanh(\frac{2\pi d}{\lambda})

Групповая скорость для случая переходных глубин:

c_g=\frac{1}{2}(1+\frac{4 \pi \frac{d}{\lambda}}{\sinh(4 \pi \frac{d}{\lambda})})c

Заметим, что уравнение длины волны является трансцендентным, и находить его решение нужно численными методами. Например, используя Метод итераций (метод последовательных приближений).

Случай глубокой воды

Уравнение приобретает вид
\omega^2=gk,
откуда
c=\frac{gT}{2\pi}\lambda=\frac{gT^2}{2\pi}

Групповая скорость для случая глубокой воды:

c_g=\frac{1}{2}c=\frac{gT}{4\pi}

Итак, измерив период волны, мы с достаточной точностью можем вычислить фазовую скорость, групповую скорость и длину волны. А измерение периода волны можно провести, например, засекая секундомером время прохождения гребней, то есть период — это наиболее доступная вещь, которую можно измерить без специальных приборов. Если вы где-то вблизи берега — надо представлять себе глубину, если глубины заведомо большие, то можно пользоваться формулами для глубокой воды, в которые глубина, как параметр, не входит. Так как у нас под рукой вычислительная мощь компьютера, калькулятор использует не упрощенные формулы, находя длину волны методом итераций (метод будет сходиться, так как производная функции меньше единицы).

Теперь возвращаемся к ветру. Собственно, постоянно дующий в одном направлении ветер это и есть то, что формирует волны, то, что сообщает волнам энергию.
И, довольно очевидно, для того чтобы сообщать волнам энергию, ветер должен дуть быстрее, или хотя бы со скоростью, равной фазовой скорости волны.

Здесь вводится определение полностью сформированной волны (fully developed sea). Полностью сформированная волна — волна, достигнувшая максимальных характеристик при данном ветре. То есть волна находится в состоянии равновесия по энергии — сколько сообщается энергии ветром, столько и уходит на движение. Не каждая волна достигает такого состояния, так как требуется, чтобы ветер постоянно дул над всей поверхностью, которую проходит волна в течении некоторого времени. И чем сильнее ветер, тем больше времени и больше расстояния требуется для формирования такой волны. Но зато уж если она сформировалась, ее фазовая скорость догонит скорость ветра.

Комментарии