Олимпиадные задания
Калькуляторы, решающие несколько олимпиадных задач по математике.
Эта страница существует благодаря следующим персонам
 | Timur
|
Этот материал распространяется на условиях лицензии Creative Commons Attribution/Share-Alike License 3.0 (Unported). Это означает, что вы можете размещать этот контент на своем сайте или создавать на его основе собственный (в том числе и в коммерческих целях), при условии сохранения оригинального лицензионного соглашения. Кроме того, Вы должны отметить автора этой работы, путем размещения HTML ссылки на оригинал работы https://planetcalc.ru/1262/. Пожалуйста оставьте без изменения все ссылки на других авторов данной работы или работы, на основе которой создана данная работа (если таковые имеются в спроводительном тексте).
Попросили меня давеча помочь с несколькими задачами по математике. Их можно решить в лоб прямым расчетом или перебором, но для человека это будет очень долго. Так как думать над хитрыми способами было неохота, поручил долгие расчеты компьютеру, написав несколько калькуляторов. У него по любому быстрее получится.
Итак, первая задача звучала так: Рассмотрим чередующуюся сумму 1 × 3 – 5 × 7 + 9 × 11 – 13 × 15 + … – 2005 × 2007 + 2009 × 2011. Чему равна эта сумма?
Калькулятор, который находит эту сумму, просто выполнив все операции, ниже :)
Нечетный расчет
Но на самом деле, эта задача решается довольно легко, причем вычисленный ответ совпадает с посчитанным компьютером. Если вкратце, то это все можно заменить на:
1 × 3 - 5 × 7 + 9 × 11 - 13 × 15 + ... - 2005 × 2007 + 2009 × 2011
(22 - 1) - (62 - 1) + (102 - 1) - (142 - 1) + ... - (20082 - 1) + (20102-1)
единицы сокращаются все, кроме последней
22 - 62 + 102 - 142 + ... - 20082 + (20102-1)
рассчитав пару слагаемых, можно убедиться разность между двумя последовательными слагаемыми равна -32×n, где n = 1,3,5 и т.д. до 501
32×(-1) + 32×(-3) + ... + 32(-501) + (20102-1)
если 32 вынести за скобки, то внутри будет арифметическая прогрессия, сумму которой можно посчитать быстро, используя Арифметическая прогрессия :). Ну ну а дальше домножаем на 32 и вычитаем из оставшегося слагаемого 2009×2011.
Вторая задача: Есть дедушка, которому более чем 80 лет (но менее чем 150 лет). Сегодня он может сказать своим двум внукам, которые имеют разный возраст: «Произведение наших трех возрастов равно сумме
квадратов наших возрастов». Определите возраст дедушки.
Если упрощать формулировку, то надо найти три числа, произведение которых равно сумме их квадратов. Калькулятор, который решает эту задачу методом перебора, ниже :)
Произведения и суммы
Если честно, придумать, как решить ее без калькулятора, я не смог. Возможно, путь ее решения состоит просто в сокращении числа вариантов, используя например то, что произведение двух возрастов внуков должно быть чуть больше возраста дедушки, но не факт. Возможно есть какой-нибудь более элегантный способ решения — есть кто знает, поделитесь.
Третья задача: 2011 + BON + JEU = MATH
В этом ребусе каждая буква обозначает цифру от 0 до 9. Две различные буквы заменяют всегда две различные цифры и никакое число не начинается с нуля. Определите максимальное значение числа MATH. Калькулятор, который решает эту задачу методом перебора, ниже :) Кстати решает довольно долго (для компьютера, конечно).
Неповторяющиеся цифры
В принципе, эту задачу тоже можно решить умом. Понятно, что B, J, M и A находятся сразу. С остальными надо немного поковыряться.
Вот такое вот читерство.
Комментарии