Получить код ссылки
Внешний вид
Пример
РаботаФинансовые

Аннуитетные платежи - наращение, дисконтирование

Timur2008-12-12 21:37:04

Сначала немного теории.
В финансовых расчетах для обозначения денежных потоков, т.е. последовательных, растянутых во времени платежей, используют термин рента.
Каждый отдельный рентный платеж называют членом ренты. Частным случаем, наиболее часто используемым в реальной жизни и наиболее разработанным, является аннуитет - такая последовательность платежей, все члены которой равны друг другу, причем платежи происходят через равный интервалы времени друг за другом.
Данный вид ренты довольно часто используется в потребительском (автомобильном, ипотечном) кредитовании, страховых взносах, выплатах по облигациям.

В связи с тем, что ценность денег зависит от времени (сто рублей сейчас не то же самое что сто рублей через год), простое суммирование рентных платежей не дает представления о доходности, приведенной стоимости ренты и т.д. Требуется использование специальных формул наращивания и дисконтирования.
При этом предполагается, что получатель платежа имеет возможность реинвестировать получаемые им суммы.
Рассмотрим математический аппарат рентных платежей.
Для простоты предположим, что платежи размером R вносятся в конце каждого года, срок ренты составляет n лет, и получатель денег (арендодатель, или кредитор), вносит их в банк под годовую ставку сложных процентов j. Проценты уже на вклад при этом начисляются тоже раз в год.
Таким образом, первый взнос R, полученный в конце первого года, лежа в банке, к концу срока ренты превратится
R_1=R(1+j)^{n-1}, второй
R_2=R(1+j)^{n-2}, и т.д.
Взнос последнего года будет равен R. Если рассматривать эти величины в обратном порядке, что можно заметить, что это Геометрическая прогрессия, где первый член равен R, а знаменатель равен 1+j.
Таким образом, если для должника, или арендатора, сумма по обслуживанию кредита (ренты) равна R помноженному на количество платежей, то для кредитора, или арендодателя полученная, или наращенная сумма будет равна (по формуле геометрической прогрессии)
S=\frac{R(1+j)^{n}-R}{j}
Под текущей, или приведенной, или дисконтированной стоимостью ренты P понимается сумма, которая, будучи помещена в банк под те же проценты в начале рентного периода, даст такую же наращенную сумму в конце этого периода.
Для нашего примера с начислением процентов раз в год это будет формула
S=P(1+j)^{n}
Приравняв оба уравнения и выразив P, получим
P=\frac{R}{j}(1-\frac{1}{(1+j)^{n}})
Собственно, для кредитования P это и есть та сумма кредита, которую банк намеревается "отбить". Т.е. выдав вам кредит под процент j банк рассчитывает ваш аннуитетный платеж исходя из желания получить сумму S, как если бы он просто положил эти деньги в другой банк под этот же процент на весь срок вашего кредита.
В реальной жизни формулы усложняются. Как правило, начисление процентов j происходит ежемесячно, и платежи также осуществляются каждый месяц. Если обозначить количество начислений процентов на вклад в году через m, как правило, 12, а также 1, 2 или 4, и количество рентных платежей в году через p (p малое), тоже как правило 1,2,4 либо 12, то формулы выглядят следующим образом
S=R\frac{(1+j/m)^{mn}-1}{p*((1+j/m)^{m/p}-1)}
P=R\frac{1-(1+j/m)^{-mn}}{p*((1+j/m)^{m/p}-1)}
Кстати, нетрудно заметить, что приравняв p и m к 1 получим первоначальные формулы.
В данном рассмотрении рентные платежи вносились в конце периода - такая рента называется обычной или постнумерандо. Если же платежи вносятся в начале периода, то такая рента называется срочной или пренумерандо. Формулы еще немного усложняются. Собственно, их можно получить повторив все рассуждения выше, с учетом того, что для срочной ренты первый член геометрической прогрессии будет равен
R(1+j)
Собственно, этот дополнительный множитель 1+j и появляется в формулах в нужных местах.
Калькулятор, по которому писалась эта статья, обсчитывает параметры ренты. Он сделан универсально - это означает что необязательно заполнять все поля - можно ввести только известные параметры, оставляя неизвестные пустыми - и если они могут быть рассчитаны по известным - они будут рассчитаны и выведены в результатах.

Поясним на примере - вы взяли кредит в 15000 на 3 года под 19 процентов.
Если заполнить калькулятор следующим образом:

Годовой рентный платеж - пусто
Процентная ставка - 19
Срок ренты - 3
Число платежей - раз в месяц
Число начислений процентов - раз в месяц
Тип платежей - обычные
Наращенная сумма - пусто
Дисконтированная стоимость ренты - 15000

то из результатов можно почерпнуть следующую информацию
Годовой рентный платеж - 6598.084 (ваши расходы за год на обслуживание кредита)
Разовый платеж - 549.840 (понятно)
Сумма рентных платежей - 19794.251 (ваши общие расходы по обслуживанию кредита)
Наращенная сумма - 26405.829 (сумма, получаемая банком на отданные в кредит 15000, ну, если конечно ваши платежи реинвестируются, а они реинвестируются)

Калькулятор:

Наращение и дисконтирование ограниченных аннуитетовCreative Commons Attribution/Share-Alike License 3.0 (Unported)
0.12345678901234567890
 
 
 
 
 
 

Для тех, кому лень каждый раз пролистывать статью - ссылка на отдельную страницу калькулятора
Наращение и дисконтирование ограниченных аннуитетов

Комментарии

 Все обсуждения
Защита от спама