Линейная рекуррентная последовательность

Этот онлайн калькулятор выполняет расчет заданного числа членов линейной рекуррентной последовательности (возвратной последовательности), а также выводит их сумму нарастающим итогом.

Линейной рекуррентной последовательностью (возвратной последовательностью, линейной рекуррентой) называется всякая числовая последовательность x_{0},x_{1},\dots, задаваемая линейным рекуррентным соотношением:

x_{n}=a_{1}\cdot x_{n-1}+\dots +a_{d}\cdot x_{n-d} для всех n\geqslant d

с заданными начальными членами x_{0},\dots ,x_{d-1}, где d — фиксированное натуральное число, называемое порядком последовательности, a_{1},\dots ,a_{d} — заданные числовые коэффициенты, a_{d}\neq 0.

Примеры известных линейных рекуррентных последовательностей можно посмотреть под калькулятором.

PLANETCALC, Линейная рекуррентная последовательность

Линейная рекуррентная последовательность

Начальные члены

Формула
 
Файл очень большой, при загрузке и создании может наблюдаться торможение браузера.
Знаков после запятой: 2

Примеры линейных рекуррентных последовательностей

Начнем с того, что такие известные понятия, как арифметическая прогрессия и геометрическая прогрессия, можно описать как линейные рекуррентные последовательности.

Арифметическую прогрессию с первым членом a₁ и разностью прогрессии d можно представить как линейное рекуррентное соотношение второго порядка следующего вида:
x_n = 2x_{n-1} - x_{n-2}
с x₁ = a₁ и x₂ = a₁+d соответственно. Вот так это выглядит для a₁ = 1 и d = 2.

Геометрическую прогрессию с первым членом a₁ и знаменателем прогрессии q можно представить как линейное рекуррентное соотношение первого порядка вида:
x_n = qx_{n-1}
c x₁ = a₁. Вот как это выглядит для геометрической прогрессии со знаменателем 2.

Одной из самых известных линейных рекуррентных последовательностей являются числа Фибоначчи - это последовательность, в которой первые два числа равны 0 и 1, а каждое последующее число равно сумме двух предыдущих чисел. Соотношение двух последовательных чисел Фибоначчи дает, между прочим, приближение золотого сечения.

Числа Фибоначчи относятся к последовательностям Люка - семейству пар линейных рекуррентных последовательностей второго порядка, впервые рассмотренных Эдуардом Люка. К ним же относятся и числа Люка - последовательность, в которой, как и в числах Фибоначчи, каждое последующее число равно сумме двух предыдущих чисел, но с первыми членами 2 и 1 соответственно. Числа Люка могут использоваться для проверки на простоту.

Еще две примечательные последовательности Люка это числа Пелля, с формулой
x_n=2x_{n-1}+x_{n-2}
и начальными членами 0 и 1, и числа Пелля-Люка или сопутствующие числа Пелля, с той же формулой и начальными членами 2 и 2. Примечательны эти числа тем, что с их помощью можно построить бесконечную последовательность подходящих дробей для квадратного корня из двух:
\frac{1}{1},\frac{3}{2},\frac{7}{5},\frac{17}{12},\frac{41}{29},\dots,
Здесь в числителе половина числа Пелля-Люка (2, 6, 14, 34, ...), а в знаменателе - число Пелля (1, 2, 5, 12, ...), начиная со второго числа в последовательности (n=1). Помимо этого соотношение двух последовательных чисел Пелля дает приближение так называемого серебрянного сечения.

И наконец числа трибоначчи, параметры калькулятора по умолчанию, это последовательность целых чисел, где каждое последующее число является суммой трех предыдущих, с начальными членами 0, 0, и 1. Название образовано по аналогии с "Фибоначчи" с заменой на приставку "три", от латинского tri.

Ссылка скопирована в буфер обмена
PLANETCALC, Линейная рекуррентная последовательность

Комментарии