Онлайн калькулятор: Радиус Земли по широте (WGS 84)

Калькулятор ниже определяет радиус Земли на заданной широте. В реальности, конечно, он рассчитывает радиус референц-эллипсоида WGS 84 на заданной широте, и если вы хотите освежить в голове теорию, вы можете прочитать текст под калькулятором.

Радиус Земли по широте (WGS 84)

Широта

′

″

с.ш.

ю.ш.

Точность вычисления

Знаков после запятой: 3

Радиус, км

Радиус Земли

Поскольку Земля сплющена у полюсов и выпукла у экватора, геодезия моделирует форму Земли сплющенным сфероидом. Сплющенный сфероид, или сплющенный эллипсоид - это эллипсоид вращения, полученный вращением эллипсоида вокруг его короткой оси. Это правильная геометрическая форма, которая почти точно отражает форму Земли. Сфероид, описывающий форму Земли или другого небесного тела называется референц-эллипсоидом. Референц-эллипсоид Земли обычно называют Земной эллипсоид.

Конечно, поверхность Земли имеет неправильную форму. И более точным, чем референц-эллипсоид, приближением этой формы является геоид. Геоид являлся и является важной концепцией геодезии и геофизики уже более двух сотен лет, но работать с ним гораздо труднее, чем с референц-эллипсоидом, так как он тоже имеет неправильную поверхность, зависящую от распределения земных масс.

Собственно, из-за относительной простоты, референц-эллипсоиды и используются для расчета геодезических сетей и определения координат точек в виде широты, долготы и высоты над уровнем моря. В настоящее время наиболее часто используемым референц-эллипсоидом, использующемся также в глобальной системе позиционирования (Global Positioning System - GPS), является референц-эллипсоид WGS 84.

Эллипсоид вращения можно описать всего двумя параметрами. В геодезии используется несколько параметров, но все они эквивалентны или выводятся друг из друга:

Экваториальный радиус a (или большая полуось), и полярный радиус b (или малая полуось);
a и первый эксцентриситет e;
a и геометрическое (полярное) сжатие f.

WGS 84 определяет следующие параметры эллипсоида:
Большая полуось a = 6378137.0 метров
Малая полуось b = 6356752.3142 метра

Точка на поверхности эллипсоида может быть задана параметрическим уравнением кривой
$(x,y)=(a \, cos(t), b \, sin(t))$

Радиус эллипсоида в данной точке можно найти через теорему Пифагора
$R(t)^2 = a^2 cos^2(t) + b^2 sin^2(t)$

Тут есть небольшая проблема, которая заключается в том, что угол t из формулы выше является геоцентрической широтой, а координаты точки, и в частности широта, являются геодезическими, зависящими от используемой системы координат (WGS 84), are geodetic. Геодезическая широта определяется углом между плоскостью экватора и нормалью к поверхности эллипсоида, и геоцентрическая широта - углом между плоскостью экватора и линии, соединяющей точку на поверхности эллипсоида с центром эллипсоида (см. картинку).

Таким образом, чтобы найти радиус по координатам точки, нам надо от геодезической широты $\alpha$ перейти к геоцентрической широте $\beta$ .

Для начала найдем тангенс касательной к нашей кривой, получив его дифференцируя уравнение кривой.
$(x,y)'=(\frac{dx}{dt}, \frac{dy}{dt}) = ( -a \, sin(t), b \, cos(t))$

Это касательный вектор к нашей кривой, идущий вдоль линии T на рисунке.

Мы можем повернуть его на 90 градусов $(x,y) => (y, -x)$ и получить нормаль $(b \, cos(t), a \, sin(t))$ , которая указывает вдоль линии N.

Параметр t в выражении выше - это наша $\alpha$ . Наклон нормали - это тангенс угла $\beta$ . Таким образом
$tan(\beta)=\frac{a \, sin(\alpha)}{b \, cos(\alpha)}=\frac{a}{b}tan(\alpha)$
или
$tan(\alpha)=\frac{b}{a}tan(\beta)$

Используя соотношение между тангенсом и косинусом
$1+tan^2(\alpha)=\frac{1}{cos^2(\alpha)} => cos^2(\alpha)=\frac{1}{1+tan^2(\alpha)}$
и между тангенсом и синусом
$1+cotan^2(\alpha)=\frac{1}{sin^2(\alpha)} => sin^2(\alpha)=\frac{1}{1+\frac{1}{tan^2(\alpha)}}=\frac{tan^2(\alpha)}{1+tan^2(\alpha)}$ ,
мы можем переписать формулу для радиуса как
$R^2 = a^2 \frac{1}{1+tan^2(\alpha)} + b^2 \frac{1}{1+\frac{1}{tan^2(\alpha)}} = \frac{a^2}{1+tan^2(\alpha)} + b^2 \frac{tan^2(\alpha)}{1+tan^2(\alpha)}$
и заменить тангенс $\alpha$ тангенсом $\beta$
$R^2 = \frac{a^2}{1+\frac{b^2}{a^2}tan^2(\beta)} + b^2\frac{\frac{b^2}{a^2}tan^2(\beta)}{1+\frac{b^2}{a^2}tan^2(\beta)}=\frac{a^4+b^4tan^2(\beta)}{a^2+b^2tan^2(\beta)}$

Затем, немного упростив, мы получим следующую формулу
$R^2 =\frac{a^4+b^4tan^2(\beta)}{a^2+b^2tan^2(\beta)} = \frac{a^4cos^2(\beta)+b^4sin^2(\beta)}{a^2cos^2(\beta)+b^2sin^2(\beta)}= \frac{ (a^2cos(\beta))^2+(b^2sin(\beta))^2}{(a\,cos(\beta))^2+(b\,sin(\beta))^2}$

И, наконец, формулу, приведенную в википедии

$R =\sqrt{\frac{ (a^2cos(\beta))^2+(b^2sin(\beta))^2}{(a\,cos(\beta))^2+(b\,sin(\beta))^2}}$

Калькулятор выше как раз и использует эту формулу.

PLANETCALC Онлайн калькуляторы

Радиус Земли по широте (WGS 84)

Радиус Земли по широте (WGS 84)

Радиус Земли

Похожие калькуляторы

Комментарии

PLANETCALC Онлайн калькуляторы

Радиус Земли по широте (WGS 84)

Радиус Земли

Похожие калькуляторы

Комментарии

Поделиться этой страницей