Получить код ссылки
Внешний вид
Пример
УчебаМатематика

Решение системы линейных алгебраических уравнений методом Гаусса

Калькулятор решает систему линейных алгебраических уравнений, заданных в виде матрицы методом Гаусса. Выдается пошаговое решение.
Anton2014-05-09 19:43:21

Система линейных уравнений вида:

\begin{cases}a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \dots + a_{1n}x_n = b_1\\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \dots + a_{2n}x_n = b_2\\ \dots \\ a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + \dots + a_{mn}x_n = b_m\\ \end{cases}

может быть решена методом Гаусса при помощи нашего калькулятора.

Система уравнений задается в виде расширенной матрицы, т. е. матрицы коэффициентов и свободных членов размерности [n : n+1] вида:

\begin{array}{|cccc|c|}  a_{11} &  a_{12} &  ... &  a_{1n} &  b_1\\  a_{21} &  a_{22} &  ... &  a_{2n} &  b_2\\  ... &  ... &  ... &  ... &  ...\\  a_{n1} &  a_{n2} &  ... &  a_{nn} &  b_n\\ \end{array}

Описание метода Гаусса следует сразу за калькулятором.

Решение системы линейных уравнений методом ГауссаCreative Commons Attribution/Share-Alike License 3.0 (Unported)
0.12345678901234567890
 
Детали вычислений:

Метод Гаусса

Метод был назван в честь гениального немецкого математика XIX века Карла Фридриха Гаусса. Сам Гаусс не был первооткрывателем метода (метод был известен и ранее (еще в I-II веке до н. э. метод упоминался в китайском труде «Математика в девяти книгах»).

Приведение матрицы к ступенчатому виду

На первом шаге решения системы уравнений методом Гаусса матрица коэффициентов и свободных членов приводится к ступенчатому виду:
\begin{array}{|cccc|c|}  a_{11} &  a_{12} &  ... &  a_{1n} &  \beta_1\\  0 &  a_{22}  &  ... &  a_{2n} &  \beta_2 \\ 0 & 0 & \ddots & \vdots & \vdots \\ 0 &  0 &  0 & a_{nn} &  \beta_n\\ \end{array}

Матрица превращается в ступенчатую форму путем элементарных преобразований — перемена строк местами, умножение строки на коэффициент, сложение строк.
В нашем калькуляторе для перехода к ступенчатому виду осуществляется последовательное вычитание из нижних A_j строк матрицы, помноженных на {a_{ii}}, верхних строк A_i, помноженных на коэффициент {a_{ji}}, где i — индекс текущей строки (индекс строки, которую вычитают из нижних строк).
При осуществлении этой операции требуется, чтобы коэффициент главной переменной {a_{ii}} был не нулевым. В случае нулевого коэффициента, строка меняется местами с любой другой нижней строкой, в которой в текущем столбце значение отлично от нуля.

Выражение базисных переменных

Получив ступенчатую матрицу, мы переходим к выражению базисных переменных, для этого сначала выполняется деление текущей строки на коэффициент {a_{jj}}, затем производится обратное вычитание из верхних строк A_i, этой строки A_j, помноженных на коэффициент {a_{ij}}, где j — индекс текущей строки (индекс строки, которую вычитают из верхних строк). Операция повторяется с каждой строкой, начиная от n-й до 1-й.
В результате матрица приобретает диагональный вид:
\begin{array}{|cccc|c|}  a_{11} &  0 &  ... &  0 &  \beta_1\\  0 &  a_{22}  &  \vdots &  0 &  \beta_2 \\ 0 & 0 & \ddots & \vdots & \vdots \\ 0 &  0 &  0 & a_{nn} &  \beta_n\\ \end{array} ,
далее, поделив строки матрицы на коэффициент a_{ii}, в столбце свободных членов получаем вектор решений системы уравнений.

Комментарии